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1、 二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式. 二次函数基本形式:的性质: 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大;时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时，有最大值2. 的性质:上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大；时，随的增大而减小；时,有最小值向下轴时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时，有最大值3. 的性质:左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大;时，随的增大而减小；时，有最小值.向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大;时
2、,有最大值.的性质:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大；时，随的增大而减小；时,有最小值.向下=时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值二、二次函数图象的平移 1. 平移环节：措施一： 将抛物线解析式转化成顶点式,拟定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处，具体平移措施如下: 2. 平移规律 在原有函数的基本上“值正右移，负左移;值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 措施二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右)平移个单位,变成（或） 三、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的体现形式,后者通过配方
3、可以得到前者,即，其中四、二次函数图象的画法五点绘图法:运用配措施将二次函数化为顶点式,拟定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选用的五点为：顶点、与轴的交点、以及有关对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组有关对称轴对称的点).画草图时应抓住如下几点：开口方向，对称轴,顶点，与轴的交点，与轴的交点.五、二次函数的性质 1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大；当时，有最小值. 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为,顶点坐标为.当时，随的增大而增大；当时,随的增大而减小；当时,有最大值六、二
4、次函数解析式的表达措施一般式:(,，为常数，）;2. 顶点式:（,，为常数,）；3 两根式：（,是抛物线与轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表达.二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数二次函数中，作为二次项系数,显然. 当时,抛物线开口向上,的值越大，开口越小,反之的值越小,开口越大； 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大，开口越大总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向,的大
5、小决定开口的大小.2 一次项系数 在二次项系数拟定的前提下,决定了抛物线的对称轴. 在的前提下,当时，即抛物线的对称轴在轴左侧;当时,，即抛物线的对称轴就是轴;当时,即抛物线对称轴在轴的右侧. 在的前提下，结论刚好与上述相反,即当时,即抛物线的对称轴在轴右侧；当时,即抛物线的对称轴就是轴;当时，即抛物线对称轴在轴的左侧.总结起来，在拟定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的鉴定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”总结： .常数项 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为; 当时，抛物线
6、与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置. 总之，只要都拟定，那么这条抛物线就是唯一拟定的.二次函数解析式的拟定：根据已知条件拟定二次函数解析式，一般运用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择合适的形式，才干使解题简便一般来说，有如下几种状况： 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式；3 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4 已知抛物线上纵坐标相似的两点,常选用顶点式.八、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式体
7、现1. 有关轴对称 有关轴对称后，得到的解析式是;有关轴对称后，得到的解析式是; 2. 有关轴对称 有关轴对称后，得到的解析式是; 有关轴对称后，得到的解析式是； 3. 有关原点对称 有关原点对称后,得到的解析式是; 有关原点对称后，得到的解析式是； 4.有关顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180） 有关顶点对称后，得到的解析式是;有关顶点对称后，得到的解析式是 . 有关点对称 有关点对称后,得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的体现式时，可以根据题意或以便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先拟定原抛物线(或体现
8、式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再拟定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的体现式.二次函数图像参照： 十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数的图象【解】 觉得中间值，取的某些值，列表如下:-5-3-2-0-0【例2】求作函数的图象。【解】先画出图角在对称轴的右边部分,列表-2017653 【点评】画二次函数图象环节: （1）配方; (2）列表； ()描点成图; 也可运用图象的对称性,先画出函数的左（右)边部分图象,再运用对称性描出右（左）部分就可。二、一元二次函数性质【例3】求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。【解】 由
9、配方成果可知：顶点坐标为，对称轴为; 当时， 函数在区间上是减函数,在区间上是增函数。【例】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值。 ， 函数图象的顶点坐标为，对称轴为 当时,函数获得最大值 函数在区间上是增函数,在区间上是减函数。【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,措施有两个：(1) 配措施；如例3(2) 公式法:合用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例,可避免出错。任何一种函数都可配方成如下形式：【二次函数题型总结】1有关二次函数的概念例1 如果函数是二次函数,那么m的值为 。例2 抛物线的开口方向是 ;对称轴是 ;顶点为 。-1OX=1YX2有关二次函数的性
10、质及图象例3 函数的图象如图所示,则a、c,，的符号为 ,例4已知a-bc=9a3c=0,则二次函数y=ax2+bx+的图像的顶点也许在( )（A） 第一或第二象限 （B）第三或第四象限 (C)第一或第四象限 （）第二或第三象限3o-13yx3.拟定二次函数的解析式例5已知:函数的图象如图:那么函数解析式为( ）（A） (B)（C） (D）4一次函数图像与二次函数图像综合考察例6 已知一次函数y=ax+c二次函数yx2+b+c（a0),它们在同一坐标系中的大体图象是（ ). 例7 如图：ABC是边长为4的等边三角形，A在X轴上,点C在第一象限，AC与轴交于点D,点A的坐标为(-1，0）()求B
11、、C、D三点的坐标;()抛物线通过、C、D三点,求它的解析式；【练习题】一、选择题1. 二次函数的顶点坐标是（ )A.(2，) B.(-2,) C.(2，1) D (2,3)2 把抛物线向上平移1个单位,得到的抛物线是（ )A C. D. .函数和在同始终角坐标系中图象也许是图中的（ ） .已知二次函数的图象如图所示,则下列结论： a,b同号;当和时,函数值相等;当时, 的值只能取0.其中对的的个数是( ）.1个 B.2个 C. 个 D. 4个5.已知二次函数的顶点坐标（-1,-3.)及部分图象(如图),由图象可知有关的一元二次方程的两个根分别是( ).- B.2. .-0. D.3 6. 已
12、知二次函数的图象如图所示,则点在（ ）A.第一象限 B第二象限C.第三象限 .第四象限方程的正根的个数为（ )A.0个 B.1个 C个. 3 个8已知抛物线过点A(2,0)，B(-1,0),与轴交于点C,且OC2.则这条抛物线的解析式为A. B. C 或 . 或二、填空题9二次函数的对称轴是,则_。10.已知抛物线y-2(x+3)+5,如果y随x的增大而减小，那么x的取值范畴是_11.一种函数具有下列性质:图象过点（-1，2）,当0时,函数值随自变量的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一种即可）。12.抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。13 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的，则b= ,c= 。14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段B上离中心处5米的地方,桥的高度是 (取314). 三、解答题:第15题图5
