第一章索洛经济增长模型TheSolowGrowthModel基本内容1索洛模型的基本假定2离散时间的索洛模型3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长7带技术进步的索洛模型8比较动态分析1索洛模型的基本假定•一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架.•其核心假定是新古典总的生产函数.家庭与生产I•封闭经济，唯一的最终产品.•禺散时间，t=0,1,2,....•该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为.•这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别.•为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示家庭与生产II•假定家庭的储蓄率外生•所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表示.•对该经济中的唯一最终产品，生产函数为Y(T^F[K{t\厶⑴/⑴](1)•假定资本与最终产品相同(比如玉米)，用于生产更多的产品.•/⑴可以理解为技术.•主要假定：技术是免费的；具有非竞争性与非排他性.关键假设1Assumption1（连续性，可微性，边际产出为正且递减，规模报酬不变）生产函数F.RJR+关于K与L二阶连续可微，且满足SF(-)十Fkk（K厶力）三处(・)9K2<0处(・)di：<0同时,F关于K与L规模报酬不变.•假定F关于K与L规模报酬不变，即关于这两个变量线性齐次.复习定义假定K为整数，如果对任意的AeA+与兀必，有g(加丿”二)=/TgOj二)，那么函数g:R^+2-^R^JxeR^jyeR^Jm次齐次函数.定理(欧拉定理Euler'sTheorem)假定函数为xwR与yeR的m次齐次函数,偏导数分别是&与gv,那么对任意的xeR,ywR以及二SR*,有mg(x.y.z)=gx(x?s)x+gy(x,y,z)y同时，g,.(x,_y,5)与g),(x,y,:)是关于x与y的附-1次齐次式.市场结构与市场出清I•假定市场是竞争的，因此也可认为是竞争一般均衡模型.•家庭拥有劳动，供给无弹性.•经济中的劳动(力)，兀⑴,无论在什么价格下，劳动的供给量均为方(/).•劳动力市场出清条件：厶⑴上式对所有的t均成立，L⑴劳动需求(也可视为就业水平).•一般来说，互补松弛条件的表述更为准确.•记t时期的工资率为w(t),于是劳动力市场出清条件可表示为L(z)0and(厶(/)-E(/))w(r)=0市场结构与市场出清II•假设1与竞争的劳动力市场意味着工资率必须严格为正.•家庭拥有资本，并将其出租给厂商.•记/期的资本租赁价格R(t).•资本市场出清条件：LHS-家庭的行为决定；RHS厂商的行为决定•假定家庭拥有的初始资本存量为K(0)•卩⑴为t时期最终产品的价格，将其标准化为1.•利率r(t)•折旧率5•家庭得到的实际回报厂(/)=R(f)—5.厂商优化厂商优化I•考虑代表性厂商的最大化问题:maxz(0>o,r(/)>o幵K◎厶⑴/(/)]—w(0厶⑴—7?a)K(0•注意：•上述最大化问题中的变量是总量.•在F前面没有系数，这是因为最终产品的价格已正规化为1.•假定要素市场完全竞争：在厂商看来，w(/)与人⑴是给定的.•凹的问题，因为F是凹的.厂商优化II•由于F可微，一阶条件(FOC)为：吨)=FL[K(t\•在(2)与(3)中，K⑴与厶(/)分别表示厂商对资本和劳动的需求量.•实际上，可以通过⑵与⑶求解K(/)与刃)，它们是资本租赁价格火(/)和工资率w(/)的函数.厂商优化III命题假定假设1成立，那么均衡时厂商的利润为0,r(z)二w(f)厶(/)+R⑴KQ).•证明：可直接从欧拉定理得到(注意到加=1,即规模报酬不变).关键假设2假设2(Inadaconditions)F满足Inada条件limandlim7^(-)=0forallL>0allA夕泸(・)=sandK.—0K—>colim凤(•)=0forall厶>0allAZ-»oo'•保证内点解.生产函数F(K.LA)F(kLA)PanelAPanelBFigure:Productionfiinctionsandthemarginalproductofcapital.TheexampleinPanelAsatisfiesthehiadaconditionsinAssumption2,whiletheexampleinPanelBdoesnot.2离散时间Solow模型Solow模型的动态过程描述I•K的折旧率为5,于是K(r+i)二(1-^(/)+/(/),(4)其中，/⑴是/阶段的投资.•对于封闭经济，产出等于消费与储蓄(投资)之和“)=C(z)+I{t\(5)•注意，该模型没有家庭效用的最大化问题，因此此处难以讨论社会福利等方面的话题.Solow模型的动态过程描述II•由于经济是封闭的(同时不考虑政府支岀)，于是S(f)=1⑴•假定家庭的储蓄率是常数，则(6)(7)S(r)=sY{t\C(0=(1-叽)•于是资本供给(家庭的行为决定储蓄率S)可表示为D=(1—S)K(f)+S(/)=(1—5)K(/)+就(/).Solow模型的动态过程描述III•资本的供求相等K©=K⑴.•同时也有劳动力市场供求相等L⑴=T(z).•结合(1)与(4),可得Solow增长模型的动态方程:K(t+1)=sF[K(j\L{t\A(t}\+(l—5)K(f).•非线性差分方程.•Solow增长模型的均衡由该方程以及厶⑴(or£(/))and来刻画.定义均衡I•没有家庭优化，但仍然有厂商最大化行为以及要素市场的出清.定义在Solow模型中，对于给定的序列｛厶(/),力(()｝二以及初始资本存量AT(O),是资本、产出、消费、工资率、租赁价格的均衡路径，其中K(/)满足(8),Y(r)由⑴给出,C(r)由⑺给出，w(/)与火(/)分别由(2)与(3)给出.•注意，均衡是沿着时间的整条路径，而不是静态的点.不考虑人口增长与技术进步时的均衡不考虑人口增长与技术进步时的均衡I•进一步假定(稍后放松假定)：•没有人口增长;假定总人口为常数L>0,即厶(/)=L.•假定没有技术进步，即/⑴=/••定义资本-劳动比率(人均资本)为k⑴三竿(9)Lt•利用规模报酬不变，人均产出尹⑴三丫⑴/厶可表示为(10)三7W))・不考虑人口增长与技术进步时的均衡II•注意/伙)依赖于A,本可以将生产函数写成/&/);但由于A是常数，因此可以假定A=l.•由欧拉定理R⑴=/'(%))>ow(0=/(%))-%)/«(/))>o.*•由假设1可知(11)中的要素价格均为正.例子：Cobb-Douglas生产函数I•一类特殊的生产函数，但应用很广泛:“）=F[K（r）上⑴/⑴]二宓（厅厶（严,0＜比＜1•满足假设1和2.•两边同时除以乙⑴，•由（11）可得dAk(t)adk⑴•由欧拉定理,w(/)=尹(/)—«(/)£(/)=(1_&)/£(/)◎例子：Cobb-Douglas生产函数II•或者直接从Cobb-Douglas生产函数有，R⑴=aAKit^L(tta=aAk{t^~a},w(/)=(l—a)宓⑴学⑴“=(l-a)ZAr(/)d,直接可验证满足欧拉定理.不考虑人口增长与技术进步时的均衡不考虑人口增长与技术进步时的均衡I•将(8)的两端同时除以L可得人均量的表达式:Kt+1)=#(^(0)+(1-(12)定义稳态均衡(steady-stateequilibrium)k(t)=k*.该经济将趋于该稳态均衡(但在有限时间不能到达).稳态人均资本附1)Ml)(1不考虑人口增长与技术进步时的均衡II•上图实线代表(12),虚线是45。
线.•它们的(正的)交点，表示稳态人均资本(13)ks•注意到还有另一交点“0,因为已经假定/(0)=0.•忽略该稳态值：•如果资本不是必不可少的(essential),/(0)可能大于0£=0可能变为稳态均衡点•本交点，即使存在，也不稳定•在经济上，本交点意义不大.不考虑人口增长与技术进步时的均衡III45°不考虑人口增长与技术进步时的均衡IV•另一视角的稳态表示：折旧弘与总投资/⑷的交点.•同一图中也可展示消费与储蓄.•稳态投资S阴=折旧以（补充资本的量）.消费与投资的稳态不考虑人口增长与技术进步时的均衡V命题考虑Solow增长模型，同时假定1与2满足，则存在唯一的稳态均衡e(0,co)由(13)给出，人均产出为/(14)人均消费为/=(1-$)/&).(15)证明•之前的分析已经说明满足(13)的F是稳态点.•为了证明存在性，注意到由假设2以及洛必达法则(L'HospitaPsrule),可得lim/(Ar)/k=coandlimf(k)/k=0.•由于假设1,fgk是连续函数，于是由中值定理(IntermediateValueTheorem),存在k*满足(13).即/加{/(夕)-—}>0and加{/(£)-—}<0o上TOkS上T8ks•唯一性证明：/(^)/k对上求导数可得dk~k2_k2(16)其中第二个等号用到了(11).•即/(^)/k严格递减，因此至多存在一个解F满足(13).•方程(14)与(15)直接由定义可得.稳态点的不存在与不唯一Figure:ExamplesofnonexistenceandnonuniquenessofinteriorsteadystateswhenAssumptions1and2arenotsatisfied・不考虑人口增长与技术进步时的均衡VI•可以直接进行比较静态分析：s,A与5对/and/的影响分析.•但/关于储蓄率S不是单调函数（想想s=l与s=0）.•事实上,存在特殊的储蓄率，S翻“黄金储蓄率”,使得/最大。
注意，此时并未意指黄金储蓄率就一定比其它储蓄率好（本章未考虑消费者偏好•消费c与储蓄率s的关系如下（省略掉了其它相关参数）：如=（1-S）/（心）），=/（心））-沁），其中，第二个等号运用了在稳态时有#（^）=Sk.不考虑人口增长与技术进步时的均衡X(17)•上式对s求导数可得dsL7」ds•%加满足Qc*(Sg°加)/%=0.相应的稳态黄金资本存量为%.命题在Solow模型中，能达到的最高稳态消费对应的储蓄率为s翻，与之对应的稳态资本爲加满足(18)黄金法则(TheGoldenRule)consumptionS3vingsrateFigure:The"goldenrule,zlevelofsavingsrate,whichmaximizessteady-stateconsumption.动态无效性(DynamicIne伍clency)•当经济位于低于々加的位置时，高的储蓄将提高稳态消费;当经济位于高于忍^的位置时，降低储蓄反而可以提高稳态消费.•对于。