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1、品味数学（观察、发现，试探，整理，品味），提高思维讨论题131、无限多个开集之交是否一定为开集？无限多个闭集之交是否一定为闭集？答 都不一定。例如开集的交集为。闭集的交集为。2、设，试指出其边界点及聚点。答 的边界点为其所有的点及全部的聚点，的聚点为3、运算正确吗？答 不正确。，但此时是正无穷大还是负无穷大不能确定，故是未定型，极限四则运算法则不能用。事实上因，从而不存在。4、因为不存在，所以不存在，对吗？答 不对。因为，而有界，由无穷小量与有界变量之积为无穷小，得知=0。（该推理过程与具体曲线无关，只要求）5、考察在原点的连续性与可导性。答 不连续，但偏导数存在。当时，故二重极限即使存在，也
2、不可能等于，由连续定义知在原点不可能连续。而，同理可得。6、设，则，此解法是否正确？答 二阶导数求得不对。因为仍是满足原来变量关系的二元函数，即，从而7、既然从出发，可以推导出方向导数的计算公式，那么为什么都存在时又不一定成立？答 因为公式推导中用到了复合函数求导的法则，该法则的前提是可微。8、若二元函数在某区域内连续且有惟一的极值点，则该点就是函数在该区域上的最大值点或最小值点，是否正确？答 不一定正确。例如，易知有驻点，其中是区域内惟一的极小值点，不是极值点。但此时函数的最大值与最小值均在边界上取得：。对于二元函数，只有当最大值或最小值在区域内部取得，且函数在区域内有唯一的极值点时，才能说
3、这惟一的极值点就是函数在该区域上的最大值点或最小值点。9、求极限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解 （1）；（2）由于，由夹逼准则；（3）；（4）；（5），又，由夹逼准则；（6）10、证明：函数在过点的每一条射线连续，即为常数，但该函数在点并不连续。证 由于，故该函数在过点的每一条射线连续。而当时，从而而重极限不存在而得该函数在点并不连续。11、设具有一阶连续偏导数，可导，求解 由复合函数求导法，得12、设具有二阶连续偏导数，求解 ， (这样做法简单！因为二阶偏导数连续)13、设，而，其中具有二阶连续偏导数，求解 ；14、设方程确定了隐函数，求解 （公式法、直接法略）采用全微分法
4、，对方程两边求全微分，注意到全微分形式不变性，得，即解得，所以15、设函数由方程确定，求解 （全微分法、直接法略）采用公式法，设则 从而16、设，其中是由确定的隐函数，求解 ， 为了求出，采用直接法（全微分法、公式法略）对于方程两边对求导，要视为不变的自变量，得，解得，从而17、设，常数，求解 因条件有五个变量满足三个方程，应该有两个自变量三个因变量，结论看出已选为自变量，则由前两个方程确定了均是的函数，将其代入第三个方程即得是的函数，方程组各个方程两边对求偏导数，得解此线性方程组，得，类似可得18、若由方程组确定函数，求解 因条件有4个变量满足两个方程，应该有两个自变量两个因变量，结论看出已
5、选为自变量，则由前两个方程确定了均是的函数，方程组各个方程两边对求偏导数，得整理，得解此方程组，得类似可得19、已知，用变换化简原方程。解 变换，即变换，以为中间变量，则从而代入所给方程，得新的方程20、设函数有二阶连续偏导数，要使方程在变换，下变成方程，应如何选取常数？解 由可得，可得，为中间变量，由复合函数微分法得，进而将上面三式代入所给方程，得为使被变换后的方程为，应取使，且，因此有两种取法或。21、设函数关于自变量小连续，又存在常数，使得对于任意两点，有，则函数连续。证 任意取点，由于对给定的，函数关于自变量小连续，由定义，对于任意给定的，使得当时，总有。再取，则当时，从而有22、设函
6、数，讨论其在点处的一阶偏导数及全微分是否存在。 解 ，。，当时因为，不可能为零，所以，由微分定义可知，该函数在点处的全微分不存在。23、证明：若函数满足不等式，则在点处是全微分的。证 由可得，故；进而，同理可得。而所以，即，由微分定义可知，该函数在点处可微。24、设，其中在点的某邻域内连续，试问：（1）满足什么条件时，存在？（2）满足什么条件时，函数在点处可微。解 （1）由于，所以当时。存在。（2）由可微的必要条件知，当时，由于不存在，可知当时在点处不可微。当时。，当时。由已知，从而，即，由微分定义可知，该函数当时在点处可微。25、证明：函数满足热传导方程证 26、证明：若函数满足拉普拉斯方程，则函数也满足拉普拉斯方程。证 于是27、，设，其中有二阶连续导数，有一阶连续导数。试证：证 由于从而28、设在有连续的一阶偏导数，函数分别由下列两式确定：。求解 。将方程组两边分别关于求导，得解得，故29、函数由方程给出，证明：证 由，得，解得，所以。从而30、求解下列各题（1），求（2），求解 由方程组，得当时故。于是再由，得，（2）由于解得，再推出，31、设。证明在点处连续且有偏导数，但不可微。证 因为，而，故由夹逼准则，所以在点处连续。，而，由于，从而，由定义，该函数在点处不可微。
