椭圆焦半径公式及应用

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1、椭圆焦半径公式及应用.椭圆上的任意一点到焦点 F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。 在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。一、公式的推导设 P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。证法 1：。因为，所以又因为，所以，证法，又2：设P 到左、右准线的距离分别为，所以，由椭圆的第二定义知，而。，。二、公式的应用到焦点例 1 椭圆 上三个不同的点F（ 4，0）的距离成等差数列，求A（的值。）、B（）、C（）解：在已知椭圆中，右准线方程为，设 A、B、C到右准线的距离为，则、。，而 |AF| 、|BF

2、| 、|CF| 成等差数列。，即，。评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出 A、B、C 三点到焦点的距离， 再利用等差数列的性质即可求出的值。例 2设为椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上。已知P、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。由焦半径公式，得，。（1）若为直角，则，即，解得，故。（2）若为直角，则，即=，解得，故。评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。例 3已知椭圆 C：，上找一点 M，使点 M到左准线的距离 |MN|是求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由。为其两个焦点，问能否在椭圆与 的等比中项。若存在，C解：设存在点M（），使，由已知得a=2，c=1，左准线为x=4，则，即 48=0，解得，或。因此，点M不存在。评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时， 如果直接用两点间距离公式， 运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简