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1、高考数学精品复习资料 第2讲矩阵与变换考情解读本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力分值为10分1矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵a11，a12与列矩阵的乘法规则为a11，a12a11b11a12b21，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为.说明：矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换一般地，
2、对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x，y)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)(x，y)或T：.2几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换3矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A，B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A1，A1B.(2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A(adbc0)，它的逆矩阵为A1.(3)逆矩阵的简单性质若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩
3、阵，且(AB)1B1A1.已知A，B，C为二阶矩阵，且ABAC，若矩阵A存在逆矩阵，则BC.(4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组 (adbc0)，若将X看成是原先的向量，而将B看成是经过系数矩阵A(adbc0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AXB，则XA1B，其中A1.4二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A，那么称为A的一个特征值，而称为A的一个属于特征值的一个特征向量(2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0
4、，b0)(1)若a2，b3，求矩阵M的逆矩阵M1；(2)若曲线C：x2y21在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：y21，求a，b的值解(1)设矩阵M的逆矩阵M1，则MM1.又M，所以.所以2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩阵M1.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(x，y)，则，即又点P(x，y)在曲线C上，所以y21.则b2y21为曲线C的方程又已知曲线C的方程为x2y21，故又a0，b0，所以思维升华对于二阶矩阵，若有ABBAE，则称B为A的逆矩阵因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解
5、 (20xx江苏)已知矩阵A，B，求矩阵A1B.解设矩阵A的逆矩阵A1，则，即故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵A1，所以A1B.热点三求矩阵的特征值与特征向量例3已知矩阵A，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量解(1)由题意得，所以a13，所以a4.(2)由(1)知A，令f()(1)240.解得A的特征值为1或3.当1时，由得矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为；当3时，由得矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.思维升华(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M
6、的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0)特别地，当0时，特征向量就被变成了零向量(2)计算矩阵M的特征向量的步骤如下：由矩阵M得到特征多项式f()；求特征多项式的根，即求2(ad)(adbc)0的根；将特征多项式的根(特征值)代入特征方程，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M对应的特征向量 已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：xy10在矩阵M的作用下的直线l的方程解(1)设M，则8，故，故联
7、立以上两方程组解得a6，b2，c4，d4，故M.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f()(6)(4)821016，故其另一个特征值为2.设矩阵M的另一个特征向量是e2，则Me22，解得2xy0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x，y)，则，即xxy，yxy，代入直线l的方程后并化简得xy20，即xy20.1在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆2对于二阶矩阵，要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规则，直接指明对应的变换3对于常见的变换，要能够
8、根据前后的图形中的点的坐标变换规律准确写出变换矩阵4对于二阶矩阵A而言，至多有两个特征值，将特征值代入A，即可求得对应的特征向量.5关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解等有密切的联系，或说是所学知识的一个综合运用真题感悟1(20xx福建)已知矩阵A的逆矩阵A1.(1)求矩阵A；(2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量解(1)因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵，且|A1|221130，所以A(2)矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3)，令f(x)0，得矩阵A1的特征值为11或23，所以1是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量，2是矩阵
9、A1的属于特征值23的一个特征向量2(20xx江苏)已知矩阵A，B，向量a，x，y为实数若AB，求xy的值解由已知，得A，B.因为AB，所以.故解得所以xy.押题精练1已知点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点B.若点B的坐标为(3,4)，求点A的坐标解变换T对应的矩阵为，所以.设A(a，b)，由题意得，即所以即A(2,3)2已知矩阵A，B.(1)求(AB)1；(2)求直线2xy50在(AB)1对应变换作用下的直线方程解(1)AB，又|AB|314，(AB)1.(2)设P(x0，y0)是直线2xy50上任一点，P(x，y)是在变换作用下点P的像，则有(AB)1.代入直线方程2xy
10、50，得2(xy)(x3y)50，即x5y50，即为所求的直线方程(推荐时间：60分钟)1求将曲线y2x绕原点逆时针旋转90后所得的曲线方程解由题意得旋转变换矩阵M，设P(x0，y0)为曲线y2x上任意一点，变换后变为另一点(x，y)，则，即所以又因为点P在曲线y2x上，所以yx0，故(x)2y，即yx2为所求的曲线方程2在直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，其中M，N.解由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90得到的图形；在矩阵M作用下，一个图形变换为与之关于直线yx对称的图形，因此，ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与ABC全等，从而其面积等于ABC的面积，即为1.3已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形ABCD，其中A(1,1)，B(1,1)，C(1，1)，A(3，3)，B(1,1)，D(1，1)(1)求出矩阵M；(2)确定点D及点C的坐标解(1)设M，则有，故解得M.(2)由，知C(3,3)
