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1、第2课时分析法及其应用课标解读1.了解分析法证明数学问题的格式、步骤(重点)2.理解分析法的思考过程、特点,会用分析法证明较复杂的数学问题(难点)分析法【问题导思】证明不等式:22成立,可用下面的方法进行证明:要证明20,20,只需证明(2)2(2)2.展开得114114,只需证明67,显然67成立22成立1本题证明从哪里开始?【提示】从结论开始2证题思路是什么?【提示】寻求每一步成立的充分条件1分析法的定义从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等),这种证明方法叫做分析法2分析法的框图表示QP1P1P2
2、P2P3得到一个明显成立的条件应用分析法证明不等式设a,b为实数,求证:(ab)【思路探究】分析:讨论(ab)成立的条件,分ab0和ab0两种情况【自主解答】若ab0,b0,证明不等式ab.【证明】要证ab,只需证a3b3a2bb2a,只需证a3b3a2bb2a0,即证(ab)2(ab)0.又a0,b0,(ab)2(ab)0显然成立因此,原不等式成立.用分析法证明其他问题在数列an中,a1,an1an,设bn2nan,证明:数列bn是等差数列【思路探究】分析bn成为等差数列的条件是否成立【自主解答】要证bn为等差数列,只要证bn1bnd(常数)(n1),即证2n1an12nan为常数即证2n1
3、(an)2nan为常数,而2nan12nan1为常数成立bn是等差数列1利用分析法证明时,在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少,否则会出现错误2逆向思考是用分析法证题的主题思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件,正确把握转化方向,使问题顺利获解已知,k(kZ),且sin cos 2sin ,sin cos sin2,求证:.【证明】cos2sin22(12sin2)12sin24sin22sin21,由已知得:4sin2sin2cos22sin cos ,12sin cos ,2sin22sin cos ,4sin22sin21成立,成立.综合法和分析法的综合应用已知
4、ABC的三个内角A,B,C为等差数列,且a,b,c分别为角A,B,C的对边求证:(ab)1(bc)13(abc)1.【思路探究】利用分析法得出c2a2b2ac,再利用综合法证明其成立【自主解答】要证(ab)1(bc)13(abc)1,即证,只需证3.化简,得1,即c(bc)(ab)a(ab)(bc),所以只需证c2a2b2ac.因为ABC的三个内角A,B,C成等差数列,所以B60,所以cos B,即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立1综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手,易于寻找解题思路2在实际证明命题时,常把分析法与综合法结合起来使用已知a、b、c是不全相等的正
5、数,且0x1.求证:logxlogxlogxlogx alogx blogx c.【证明】要证明logxlogxlogxlogx alogx blogx c,只需要证明logx()logx(abc)由已知0x1,只需证明abc.由公式0,0,0.又a,b,c是不全相等的正数,abc.即abc成立logxlogxlogxlogx alogx blogx c成立.因逻辑混乱而出错设向量a(4cos ,sin ),b(sin ,4cos ),若tan tan 16,求证:ab.【错解】ab,且a(4cos ,sin ),b(sin ,4cos ),(4cos )(4cos )sin sin ,即si
6、n sin 16cos cos ,16,tan tan 16,即结论正确【错因分析】以上证明混淆了已知和结论,把头脑中的分析过程当成了证明过程,如果按分析法书写就正确了;当然,本题用综合法书写证明过程更简洁【防范措施】分析法的优点是方向明确,思路自然,故利于思考,但表述易错;综合法的优点是易于表达,条理清晰,形式简捷,故我们一般用分析法寻求解题思路,用综合法书写解题过程【正解】分析法:要证明ab,而a(4cos ,sin ),b(sin ,4cos ),即要证明(4cos )(4cos )sin sin ,即要证sin sin 16cos cos ,即要证16,即要证tan tan 16,而t
7、an tan 16已知,所以结论正确综合法:tan tan 16,16,即sin sin 16cos cos ,(4cos )(4cos )sin sin ,即a(4cos ,sin )与b(sin ,4cos )共线,ab.1综合法的特点是:从已知看可知,逐步推出未知2分析法的特点是:从未知看需知,逐步靠拢已知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考实际证题时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来1直接证明中最基本的两种证明方法是()A类比法和归纳法B综合
8、法和分析法C比较法和二分法 D换元法和配方法【解析】根据综合法和分析法的定义可知,二者均为直接证明方法【答案】B2欲证,只需要证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2【解析】0,0,要证,只需证,即证()2()2.【答案】C3在证明命题“对于任意角,cos4sin4cos 2”的过程“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”中应用了()A分析法B综合法C分析法和综合法综合使用D间接证法【解析】符合综合法的证明思路【答案】B4已知ab0,试用分析证明.【证明】要证明(由ab0,得ab0)只需证(a2b2)(ab)(a2b2)(ab
9、),只需证(ab)2a2b2,即2ab0,因为ab0,所以2ab0显然成立因此当ab0时,成立.一、选择题1下列表述:综合法是由因导果法;综合法是顺推法;分析法是执果索因法;分析法是间接证明法;分析法是逆推法其中正确的语句有()A2个B3个C4个D5个【解析】结合综合法和分析法的定义可知均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故不正确【答案】C2要证明(a0)可选择的方法有多种,其中最合理的是()A综合法 B类比法C分析法 D归纳法【解析】要证,只需证2a722a72,只需证,只需证a(a7)(a3)(a4),只需证012,故选用分析法最合理【答案】C3已知f(x)是奇函数,那么实数a的值等于(
10、)A1 B1 C0 D1【解析】当a1时,f(x),f(x)f(x),f(x)为奇函数a1,0时得不出f(x)为奇函数,故A正确【答案】A4下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,),当x1f(x2)”的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)【解析】若满足题目中的条件,则f(x)在(0,)上为减函数,在A、B、C、D四选项中,由基本函数性质知,A是减函数,故选A.【答案】A5对一切实数x,不等式x2a|x|10恒成立,则实数a的取值范围是()A(,2 B2,2C2,) D0,)【解析】用分离参数法可得a(|x|)(x0),而|x|2,a2,当x0时
11、原不等式显然成立【答案】C二、填空题6设A,B(a0,b0),则A、B的大小关系为_【解析】AB0.【答案】AB7若抛物线y4x2上的点P到直线y4x5的距离最短,则点P的坐标为_【解析】数形结合知,曲线y4x2在点P处的切线l与直线y4x5平行设l:y4xb.将y4xb代入y4x2,得4x24xb0,令0,得b1.4x24x10,x,y1.【答案】(,1)8补足下面用分析法证明基本不等式ab的步骤:要证明ab,只需证明a2b22ab,只需证_,只需证_由于_显然成立,因此原不等式成立【解析】要证明ab,只需证明a2b22ab,只需证a2b22ab0,只需证(ab)20,由于(ab)20显然成立,因此原不等式成立【答案】a2b22ab0(ab)20(ab)20三、解答题9如图223所示,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BC的中点,EFBDG.图223求证:平面B1EF平面BDD1B