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1、(word完整版)向量与三角形四心的关系三角形中的“四心”的向量表示安徽省合肥168中学 卢业照18956081732向量既反映数量关系,又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性,表述的简洁性和方法的一般性。使用向量的第一步，是要在图中指定基向量(基底），这组基底一般是线性无关的。一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中,以此为依据而进行计算。在确定点的位置时,经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决；在处理垂直关系,长度关系及交角等问题时，一般用向量的数
2、量积来解决。一、线共点问题.解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。=例1、用向量法求证：ABC的三条高共点。分析：得BC与AC边上的高AD与BE交于H，连接CH，只要证明CHAB即可。因此,关键是选好基向量.设，则由，得，同理,得证。类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。（2)三角形的三条中线交与一点。二、三角形的四心-重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O是ABC所在平面内一点，若，则点O是ABC的重心.分析:利用及加法的平行四边形法则可证.拓展:若，(0，+），则点P的的轨迹一定是ABC的_心。(重心）例3、已知O是ABC所在平面内一点，若=,则点O是ABC的
3、垂心。分析:=得=0，OBAC同理,可证.拓展1：已知O是ABC平面上一定点，若=+，(0，+）,则动点P的轨迹一定通过ABC的_心.分析：=，由于=0，动点P一定过ABC的垂心。拓展2：点O是ABC所在平面内一点,满足,则点O是ABC的_心。分析：得2=0，即=0，同理可证:，,故O为垂心。【例4】已知O是ABC所在平面上一点，若a、b、c是角A、B、C的所对边的边长,且，则O是ABC的_心。分析：联系重心向量式的证明方式，取、为基向量,则=，=，故=+，=+,将其代入中得到（a+b+c）+b+c=,即=又,故由和分别是与,同向的单位向量和，则(+），故AO平分BAC，同量,BO平分ABC，
4、CO平分ACB,故O是ABC的内心。点评：从向量角度给出ABC中，BAC的角平分线的表达式,即:OA平分BAC=拓展:点O是ABC平面上一定点,动点P满足=+，0，+,则P的轨迹一定通过ABC的_心.分析：由=知,其中AO平分BAC,故P点的轨迹一定通过ABC的内心.【例5】已知点O是ABC所在平面上一点，若，则点O是ABC的_心.分析:由已知知是外心。三、三角形“四心”的统一表达式定理:如图，点M是ABC所在平面内任一点，总有.特别地，当点M是重心G时,有当点M是垂心H时,有当点M是外心O时,有当点M是内心I时，有。 下面证明这个定理：设则有平面向量的平行四边形法则知,作,同理，.同理，.易
5、证：当点M是重心G时，.当点M是垂心H时, 当点M是外心O时，当点M是内心I时,故定理得证.四、三角形“四心的综合问题例6、已知点O是ABC所在平面内一定点,且+=,当点P在何位置时，的值最小。分析：=，故当点P是ABC的重心O时，所求值最小.例7.已知O为ABC的外心,H为垂心,求证：分析：如图，作直径BD，连DA、DC，有拓展:1.求证：ABC的外心O,垂心H，重心G三点共线，且OG：GH=1:2.分析：有上题知拓展2. 。已知ABC不是直角三角形，点O为ABC的外心，H为ABC的垂心. ABC满足什么条件，有AH=OA.分析:由于AH=OA，则AH=OA=R，当A是锐角时,=2A，当A为钝角时，上面每一步可以逆推，以上从三角形“四心”方面体现了向量与几何的密切联系,即向量概念引入后，全等、平行（平移）、相似和垂直等几何关系就可转化为向量的加（减）法,数乘向量,数量积的运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.理解平面向量及其运算的定义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,从而发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。5
