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1、平行四边形及其性质知识要点导读浙江 华明忠 你见过大门口伸缩自如的电动门或路边工厂门口的铁拉门吗？只需轻轻一拉，或开或关都轻松自如。仔细观察这些门，你会发现它们都有一个共同特点，都是由特殊的四边形（平行四边形）构成的。在日常生活中，我们还见到过许许多多平行四边形的物体，它们为什么要做成平行四边形的形状呢？学完本单元的知识后你就会找到答案。 1平行四边形的定义及表示两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“”表示，这个符号读作“平行四边形”。符号只是图形的一种“身份证”，运用它会给今后的书写带来很大的便利。如图（1）所示的平行四边形，可以记作“ABCD”。注意：学习平行四边形的定
2、义要关注两个要素：一是两组对边分别平行（只有一组对边平行不可以）；二是平行四边形是四边形（五边形、六边形，都不符合条件）。在用符号“”表示平行四边形时，字母的排列要按一定的顺序，可以按逆时针方向排列，也可以按顺时针方向排列，但不能打乱顺序排列。2平行四边形的性质由平行四边形的定义结合全等三角形的相关知识，容易得到如下定理：平行四边形的对角相等。平行四边形的两组对边分别相等。平行四边形的对角线互相平分。以上性质可作如下表述：如图（2），如果四边形ABCD是平行四边形，那么BAD=DCB，ABC=CDA；AB=CD，AD=BC；AO=CO，BO=DO。 3平行四边形的性质及其应用 平行四边形的性质
3、是中考命题的重点之一，常见题型以填空、选择为主，重点考查基础知识和证明的格式和步骤。 例1（四川乐山）如图（3），在平行四边形ABCD中，CEAB，E为垂足。如果A=125，则BCE=（ ） A55 B35 C25 D30 解析：由四边形ABCD是平行四边形，得AD/BC，所以B=；因为CEAB，所以BCE=，故选B。 点评：本题主要考查平行四边形的性质和直角三角形的性质。利用平行四边形性质求角度的大小是一种常用的方法，同学们要予以重视。 例2（湖北襄樊）如图（4），在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AOD的周长比AOB的周长小3cm，若AD=5cm，则ABCD的周长为 cm。 解析：
4、由于平行四边形的对角线互相平分，所以OD=OB。而AO是AOD与AOB的公共边，因而AOD的周长比AOB的周长差就是AB与AD的差，即AB-AD=3，则AB=AD+3=8cm，所以ABCD的周长为（cm）。 点评：本题主要考查平行四边形的性质和三角形的周长之间的关系。通过观察、分析发现结论，从而培养分析问题和解决问题的能力。平行四边形考题精彩回放平行四边形是初中数学的重要内容,也是中考命题的热点之一，关于平行四边形的题型新颖别致，现采撷几例加以分析，希望对同学们的学习有所启发.一、猜想探究型例（2008年云南双柏）如图（1），E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF请你猜想：B
5、E与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明猜想： 证明：解析：通过观察图形并结合条件“CE=AF”，容易发现AE=CF，再利用平行四边形的性质可以证明ABE和CDF全等，至此能得出猜想：BE与DF平行且相等。证明如下：四边形是ABCD平行四边形，AB/CD，且AB=CD，BAE=DCF。又E，F在AC上，且CE=AF，AE=CF。ABECDF（SAS），BE=DF，AEB=CFD，FEB=EFD，BE/DF。即BE与DF平行且相等。点评：本题主要考查平行四边形的性质及其应用。这类问题的结论不明确，需要从己知的条件入手，充分挖掘、分析、推理去发现规律，从而得出结论这类试题能全面检测
6、考生的思维品质，应引起足够重视。一、方案设计型例2（2007年浙江金华）国家级历史文化名城金华，风光秀丽，花木葱茏某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花如果有AB/EF/DC，BC/GH/AD，那么下列说法中错误的是（ ）A红花、绿花种植面积一定相等B紫花、橙花种植面积一定相等C红花、蓝花种植面积一定相等D蓝花、黄花种植面积一定相等 解析：由于题设中给出条件：AB/EF/DC，BC/GH/AD，因此EF、GH把已知平行四边形分割成四个小平行四边形我们知道，平行四边形的一条对角线将其面积一分为二，即S黄=S蓝，S绿=S红，S紫+黄+绿=S橙+蓝+红
7、，根据等量关系可得S紫=S橙，所以A、B、D说法正确，再考察S红与S蓝，不一定相等（只有当E、F、G、H分别是AD、BC、AB、CD的中点时，有S红与S蓝）故选C 点评：本题主要考查平行四边形的一条对角线平分其面积以及等式性质大家知道，平行四边形的一条对角线可以把这个平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形的面积一分为四同时，解题的关键还在于充分利用等量相加（或相减）原理，否则从直观上容易对S紫=S橙产生质疑三、开放型例3（2007年福建龙岩）如图（3），在ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若再增加一个条件_，就可推得BE = DF解析：这是一道条件开放型题目，答案不惟一。要说明BE = DF，就要说明ABE与CDF全等或说明四边形DEBF是平行四边形。为此，可增加条件：AE=CF或DE=BF或ABE=CDF或AEB=CFD或BEDF等。点评：本题主要考查了平行四边形的性质及三角形全等的判定解决这类问题的思想方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件条件开放题的主要特点是条件不充分，需要我们根据所掌握的知识进行逆向思维从题设中已有条件和结论入手、探索、补充结论成立的条件，这样的条件往往不惟一。- 3 -
