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1、分类讨论问题初探浙江省义乌市北苑学校 王荣钱分类问题属于开放题型中的结论开放型和条件开放型。由于它对学生能力培养效果比较明显，普遍被采用，在考查中也常用来作能力检测题。分类问题主要内容分三大块：对图形位置的讨论；对最佳、最值方案的讨论、对参数的讨论等。在复习中须抓住它的关键分类，做到分类的内容正确、方法得当、完整无缺、不重分不漏分。在分类问题中可以运用整体思想、数形结合思想、构造思想、化归思想等。解分类题的主要步骤是：1、看清特征，确定分域点；2、优选分类顺序；3、选择适当的分类标准。下面就与图有关的可能出现分类讨论的题型作一些探索。这些问题一般属几何与函数内容。一、已知条件中不给图的问题例1
2、：已知等腰三角形二边长为3、4，求这个等腰三角形周长。解： 4 4 3 3若以3长为等腰三角形的底，则周长为11； 若以4长为等腰三角形的底，则周长为10。 3 4 启示：本题已知中因不附图，所以就可能产生两种情况，就要进行分类讨论。求等腰三角形内角时类似问题，用类方法解决。例2：已知ABC中，AB=AC，D是AC上一点，ABD=2DBC是等腰三角形，求A的度数。解：若A是顶角，则AB是腰，另一腰必为AC，此时，D与C重，不合题意；若A是底角，AB是底边，则AD和BD为腰，如下图1所示，可求得A=45。 图1 图2 若A是底角，AB是腰，则AB和BD是ABD的腰，如图2所示，可求得A=72。启
3、示：本题已知图中因为“不附图”，所以就可能产生三种情况，就需进行分类讨论。每当几何题已知条件不附图时，在分析中就要考虑是否存在多种情况分类讨论。例3：在反比例函数y=图象上有一点M，其横坐标为3，在x轴上求一点N，使OMN（O为原点）为直角三角形。解：由于Rtomn中哪个角是直角未定，因此须进行分类讨论，由于点N在x轴上，所以可设N点的坐标为（x,O），又可知M点的坐标为（3，1）。根据题意，可知MON45，于是只考虑：（1）如果MON为直角，那么有x=3，N（3，O）（2）如果OMN为直角，那么有（30）2+（10）2+（3x）2+1=x2，解得：x=,N点坐标为（,0），综上所述，可知N点
4、坐标为（3，0）或（,0）。启示：本题的分类讨论也可以归纳到图形不定问题。不能确定哪一个角是直角，由此，点的坐标也不定，必须对三个角分别进行讨论，当然还应该注意MON不可能是直角。二、运动问题例4：如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（2，0），P与x轴关于原点O和点A，又B、C、E三点坐标为（1，0），0，3），（0，b）且Ob3。当点E在线段OC上移动时，直线BE与P有哪几种位置关系？并求出每一种位置关系的b的取值范围。yARCBQOxP解：，从特殊位置入手，设BF与P关于F，与y轴交于E。OB=1，PO=2，PF=2，由勾股定理得：BF=，又OBEFBP，可求得DE=（符合Ob3的条件），
5、BF与y轴交点在点O与点C之间，当Ob时，BE与P相交；当b=时，BE与P相切；当b3时，BE与P相。启示：许多动点问题可以从特殊位置去考虑例5：已知：如图，四边形ABCD是矩形，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，0），动点P、Q同时从点O出发，P沿折线DACB方向运动，Q沿折线DBCA的方向运动。（1）若点P的运动速度是Q的3倍，点P运动到AC边上，连接PQ交OC于R，且OR=2，求直线PQ的函数关系式；（2）若点P的运动速度是每秒1.4个单位长度，点Q的运动速度是0.8个单位长度，运动到相遇时停止，设OPQ的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式。解：（1），直线PQ的函数关
6、系式是y=27x42(2)S与t的函数关系式分以下三种情况讨论：设t秒后，P在OA上，Q在OB上，Q在OB上，则OP=1.4t，OQ=0.8t，S=0.5OQ，OP=t2；设t秒后，P在AC上，Q在OB上，这时以OQ为底的OPQ的高总是3，OQ=0.8t，S=0.50.8t3=1.2t；设t秒后，P、Q两点均在BC上，这时PQ为底的OPQ的高总为4，则OA+AC+CP=1.4t，OB+BQ=0.8t,PQ=141.4t0.8t=142.2t,S=4.4t+28。三、证明问题ABEPO例6：已知：O的半径为R，已知点P作直线与O交于A、B两点，证明：PAPB=R2OP2。证明：当点P在O外时，如
7、右图，过点P作O的切线PE，连OE、OP，则OEPE，PE2=OP2OE2=OP2R2。当点P在O内时，如右图，过O、P作直线交O于C、DPAPB=PCPD=（ROP）（Rtop）=R2OP2。当点P在O上时，与A、B两点中的一点重合，这时PAPB=O，而PO=R，R2OP2=0，PAPB= R2OP2。综合对于平面上任一点，都有PAPB=R2OP2。启示：本题其实也属于未给图的问题，因此必须对P点的位置分圆外、圆内、圆上分别进行讨论，难点在于P点的位置情况怎么分。例7：设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，点A为BC外的动点（如图），当点运动到BAP=CAQ时，ABC是什么三角形？试证明
8、之。答：是等腰三角形证明：假设ABAC，则有两种情况：当ABAC，则BC，从而有QPAAQP，故APAQ，而由正弦定理得：=，故有=，ABAC，这与APAQ相矛盾，ABAC不成立，ABAC当ABAC，则BC，从而有QPAQP，APAQ，=（已证），APAQ，这与APAQ相矛盾，ABAC不成立，ABAC，综合、得AB=AC，ABC是等腰三角形。启示：本题可以用直接证法。但运用反证法证明更简单。在运用反证法证明时，一定要注意证明的结论的反面的多种情况，要一一列举否定，才能证明结论的正确性，因此也要用到分类讨论法。四、最值问题例8：某市的环城路上分布有五所中学，顺次是一中、二中、三中、四中、五中，各
9、校分别有计算机5、7、11、3、14台为使各校台数相等，问各校应调出几台给邻校，才能使调出台数最少，并证明之。解：设一中调给二中x台，二中调给三中y台，三中调给四中z台，四中调给五中t台，五中调给一中w台，则一中有w+15x=10；二中有x+7y=10三中有y+11z=10；四中有z+3t=10五中有t+14w=10；将y、z、t、w均用x表示则调动总数为M =x+y+z+t+w=x+x3+x2+x9+x5分六段讨论：（1）当n=0时，M=19；（2）当0x2时，M=3x+19；（3）当2x3时，M=x+15；（4）当3x5时，M=x+9；（5）当5x9时，M=3x1；（6）当x9时，M=5x
10、19由（2）、（3）、（4）、（5）、（6）得当x=3时，M最小值=12。启示：本题是应用问题，虽然是最值问题，但也是决策性问题，凡决策性问题一般需要讨论，这也是个分段函数问题，解的时候也需要进行分段讨论。值得注意的是它也属于不定方程的整数解问题，有一定难度。例9：现有一块直角三角形边角料，两条直角边分虽长6和8，用这块边角料剪出一个面积最大的正方形材料，怎样剪为好？ 图1 图2解：如上图所示，要剪出面积最大正方形材料，实际上取得这个直角三角形最大内接正方形，有两种情况（如上图）根据相似三角形性质，可以计算图中正方形的面积是，图2中的正方形的面积是，由此可知，所需求数最大正方形的面积。启示：本
11、题也属于决策型的应用题，但是情况2不容易被考虑到，这是难点所在，其次是要认定是直角三角形的内接正方形。五、参数问题例10：已知凸四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平方BAD，在四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，问a与b的大小符合什么条件，这个四边形一定有外接圆？为什么？解：如果四点共圆，则以这四点为顶点的四边形必有外接圆，当a=b时，若B=ADC=90时，有外接圆，若B=ADC90时，无外接圆。当ab或ab时，即ab时，必有B+ADC=180，此时必有外接圆。启示：本题中a=b时，比较容易想到，当ab时，要证B+ADC=180时，须添加辅助线（过C作CE=CD交AB于E或交AD的延长线于F）。另外，本题参数不明显也是难点所在。
