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1、2014年高考数学一轮总复习（人教A版）章末综合检测：第四章 平面向量(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知向量a，b且a2b， 5a6b， 7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D解析 A由题意2a4b2，故A，B，D共线2设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A0B. 0C0D. 0解析 B因为BB2，所以点P为线段AC的中点，故选B.3已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么()A. B.2C.3D.2解析 A由20可知，O是
2、底边BC上的中线AD的中点，故.4已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|.若(ab)c，则a与c的夹角为()A. B. C. D.解析 Cab(1，2)a，所以a与c的夹角即ab与c的夹角的补角设ab与c的夹角为，则cos ，故，则a与c的夹角为.5已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，且AOC45，设(R)，则的值为()A1 B. C. D.解析 A如图，过C作CEx轴于点E，则|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.故选A.6(2013湖南十二校联考)平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足()()0，则三角形ABC是()A直角三角形B.等腰三
3、角形C等腰直角三角形D.等边三角形解析 B()()()()()()()|2|20，故|，即ABC是等腰三角形7已知x，yR，i为虚数单位，且xiy1i，则(1i)xy的值为 ()A2B.2i C4D.2i解析 D由xiy1i得x1，y1，所以(1i)xy(1i)22i，故选D.8如图所示，非零向量a，b，且BCOA，C为垂足，若a(0)，则()A.B.C.D.解析 A，即()0|20，即2|a|2ab0，解得.9(2013济南模拟)设a是实数，且是实数，则a()A.B.1 C1D.2解析 B因为i是实数，所以a1.10已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是(
4、)A圆B.椭圆 C双曲线D.抛物线解析 D(2x，y)，(3x，y)，x2，(2x)(3x)y2x2，化简得y2x6.11已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，则向量a，b的夹角为()A. B. C. D.解析 B由a(1,1)，2ab(4,2)，得b(4,2)2(1,1)(2,0)设向量a，b的夹角为，则cos ，.12已知点A，B，C在圆x2y21上，满足20(其中O为坐标原点)，又|，则向量在向量方向上的投影为()A1B.1 C.D.解析 C由2()()0，得，即O，B，C三点共线又|1，故向量在向量方向上的投影为|cos.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中
5、横线上)13在边长为1的等边ABC中，D为BC边上一动点，则的取值范围是_解析 因为D在BC上，所以设BDx,0x1，则x.所以()21xcos 1201x，因为0x1，所以1x1，即的取值范围是.【答案】 14如果复数z(bR)的实部和虚部互为相反数，则b的值等于_解析 zi，由，得b0.【答案】 015(2013洛阳质检)已知向量a，b(x,1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，则x_.解析 a2b，2ab(16x，x1)，由题意得(82x)(x1)(16x)，整理得x216，又x0，所以x4.【答案】 416对于n个向量a1，a2，an，若存在n个不全为零的实数k1，k2，kn，使得k
6、1a1k2a2knan0成立，则称向量a1，a2，an是线性相关的按此规定，能使向量a1(1,0)，a2(1，1)，a3(2,2)是线性相关的实数k1，k2，k3的值依次为_(只需写出一组值即可)解析 根据线性相关的定义，得k1(1,0)k2(1，1)k3(2,2)0 令k31，则k22，k14，k1，k2，k3的一组值为4,2,1.【答案】 4,2,1三、解答题(本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，证明：2.解析 因为F为BC的中点，所以0，连接AF，DF，则有.而，又E为AD的中点，所以
7、0.所以2，所以2.18(12分)计算下列各式的值：(1)2；(2)；(3)i3.解析 (1)22i.(2)2i.(3)i3i3i3ii0.19(12分)已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值解析 (1)abcosxcossinxsincos 2x，|ab|2|cos x|，x，cos x0.|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x，cos x1.当cos x时，f(x)取得最小值；当cos x1时，f(x)取得最大值1.20(12分)如图所示，(6,1)，(x，y)，(2，3
8、)(1)若，求x与y之间的关系式；(2)在(1)条件下，若，求x，y的值及四边形ABCD的面积解析 (1)(x4，y2)，(x4,2y)又且(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)由于(x6，y1)，(x2，y3)，又，0.即(x6)(x2)(y1)(y3)0，联立化简，得y22y30，y3或y1.故当y3时，x6，此时(0,4)，(8,0)，SABCD|16；当y1时，x2，此时(8,0)，(0，4)，SABCD|16.21(12分)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示：0,32i，24i，试求：(1)、所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B点对应的
9、复数解析 (1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.22(14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y212x320的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解析 (1)圆的方程可写成(x6)2y24，所以圆心为Q(6,0)，过P(0,2)且斜率为k的直线方程为ykx2，代入圆的方程得x2(kx2)212x320，整理，得(1k2)x24(k3)x360.直线与圆交于两个不同的点A、B等价于4(k3)2436(1k2)16(8k26k)0，解得k0，即k的取值范围为.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程得，x1x2.又y1y2k(x1x2)4，而P(0,2)，Q(6,0)，(6，2)，与共线等价于2(x1x2)6(y1y2)将代入上式，解得k，又k，不存在符合题意的常数k.
