《(完整版)圆锥曲线专题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整版)圆锥曲线专题.doc（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”【一】直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断1.设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程f(x，y)0.由，消元。如消去y后得ax2bxc0.若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合若a0，设b24ac.a 0时，直线和圆锥曲线相交于不同
2、两点；b 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c 0时，直线和圆锥曲线没有公共点2.“点差法”的常见题型 求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式0是否成立3直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2| 或|P1P2| .(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)4圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在椭圆1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1中，以P(
3、x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在抛物线y22px (p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k.题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题 【例1】已知抛物线C：y24x，过点A(1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若，求|PQ|的最大值思维启迪(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和的关系，然后求最值解析：(1)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1)，x11(x21)，y1y2，y2y，y4x1，y4x2，x12x2，2x21(x21)，x2(1)1，1，x2
4、，x1，又F(1,0)，(1x1，y1)(1，y2)，直线MQ经过抛物线C的焦点F.(2)解由(1)知x2，x1，得x1x21，yy16x1x216，y1y20，y1y24，xxyy2(x1x2y1y2)2412216，当，即时，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值为.探究提高圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值变式训练1 (2012四川)如图，动点M与两定点 A(1,0)、B(1,0)构成MAB，且
5、直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程(2)设直线yxm(m0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|0，而当1或1为方程(*)的根时，m的值为1或1.结合题设(m0)可知，m0且m1.设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则xQ，xR为方程(*)的两根因为|PQ|PR|，所以|xQ|1，且2，所以113，且1，所以1b0)，由e，得a2c，a2b2c2，b23c2，则椭圆方程变为1.又椭圆过点P，将其代入求得c21，故a24，b23，即得椭圆的标准方程为1.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立则又y1y2(kx1m
6、)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40，40，7m216mk4k20，解得m12k，m2，由，得34k2m20，当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾当m2时，l的方程为yk，直线过定点，直线l过定点，定点坐标为.题型三 圆锥曲线中的探索性问题 【例3】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，
7、求出直线l的方程；若不存在，说明理由思维启迪可先假设l存在，然后根据与C有公共点和与OA距离等于4两个条件探求解析解方法一(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在方法二(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且有从而a216.所以椭圆C的方程为1.(2)同
8、方法一探究提高解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确变式训练3 (2012江西)已知三点O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|()2.(1)求曲线C的方程；(2)动点Q(x0，y0)(2x02)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l.问：是否存在定点P(0，t)(t0)，使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且QAB与PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由解(1)由(2x,1y)，(2x,1y)，|，()(x，y)(0,2)2y，由已知得2y2，化简得曲线C的方程：
9、x24y.(2)假设存在点P(0，t)(t0)满足条件，则直线PA的方程是yxt，PB的方程是yxt.曲线C在Q处的切线l的方程是yx，它与y轴的交点为F.由于2x02，因此11.当1t0时，1，存在x0(2,2)，使得，即l与直线PA平行，故当1t0时不符合题意当t1时，1，所以l与直线PA，PB一定相交分别联立方程组解得D，E的横坐标分别是xD，xE，则xExD(1t).又|FP|t，有SPDE|FP|xExD|，又SQAB4，于是.对任意x0(2,2)，要使为常数，即只需t满足解得t1.此时2，故存在t1，使得QAB与PDE的面积之比是常数2.该直线恒过一个定点A(，0)19.圆锥曲线中
10、的函数思想 思想与方法典例：(12分)已知椭圆1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标审 题 视 角(1)引入参数PQ中点的纵坐标，先求kPQ，利用直线PQ的方程求解(2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值规 范 解 答(1)证明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.当x1x2时，由，得.设线段PQ的中点N(1，n)，kPQ，线段PQ的垂直平分线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一个定点A(，0)当x1x2时，线段PQ的中垂线也过定点A(，0)综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(，0)(2)解由于点B与点A关于原点O对称，故点B(，0)2x12，2x22，x12x20,2，|PB|2(x1)2y(x11)2，当点P的坐标为(0，)时，|PB|min.温 馨 提 醒(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常
