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1、椭圆知识清单1.椭圆的两种定义： 平面内与两定点Fi,F2的距离的和等于定长2a(2aF1F2)的动点P的轨迹，即点集M=(P|PFi|+|PF2|=2a,2a|FiF2|;(2a=F1F2时为线段花,2ai为双曲线)d(利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线)222标准方程：(i)焦点在x轴上，中心在原点：当+L=i(ab0);a2b2焦点Fi(-c,0),F2(c,0)。其中c=Ja2-b2(一个Rt三角形)22(2)焦点在y轴上，中心在原点：匕+%=i(ab0);a2b2焦点Fi(0,c),F2(0,c)。其中c=Ja2b2注意
2、：在两种标准方程中，总有ab0,c=Ja2-b2并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=i(A0,B0,A丰B)，当AvB时，椭圆的焦点在x轴上，AB时焦点在y轴上。x=acosB3参数方程：焦点在x轴，(.为参数)y=bsin.、2_2_4一般方程：Ax+By=1(Aa0,B0)225.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：与+匕=(ab0)有以下性质：ab坐标系下的性质： 范围：|x|a,|y|b0)的性质可类似的给出。ab6.焦点三角形应注意以下关系:定义：ri+2=2a余弦定理：r2+r222rir2cos9=(2c)2面积：S击ff2=rir2sin(其
3、中P(xo,yo)为椭圆上一点，7.共焦的椭圆系设法：0=-2c|yo|=c|yo|=b2tan-22|PFi|=ri,|PF2|=”，ZFiPR=0)22把椭圆王+匕=i(ab0)的共焦点椭圆设为22ab2_x_a2,b2,8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关，而焦点坐标，准线方程，顶点坐标，与坐标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件：两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.AB=Jl+k2x-x2bx1x2=acxix2=a(a,b,c为方程的系数考点解析考点一椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用例1.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆
4、反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴A时，小球经过的路程是(C.2(a+c)长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是()2V)=1(abb2A.4aB.2(ac)2x例2.点P为为椭圆aPFiPF2取得最值时的P点坐标。题型2求椭圆的标准方程例3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为424,求此椭圆方程.考点二椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例4.在ABC中，=300，|A
5、B|=2，SK=J3.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=.题型2：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）22J匕=122例5.已知实数X,y满足42,求x2+y2_x的最大值与最小值考点三椭圆的最值问题题型1:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值22例6.椭圆169上的点到直线|：X*y-9=0的距离的最小值为.题型2.|+网|1、&的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离四+【|段心率，求的最小值。C：+-=1例7.已知椭圆2516内有一点A（2,1）,F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C四+2阡上的动点，求3的最小值。2、F
6、是C的一个焦点，求若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点,的最值。+=11例8已知椭圆2516内有一点A(2,1),F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求+朋的最大值与最小值。3、|如|+叼的最值若A为椭圆C外一定点，？为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到N的距离为d,求|钏+弑的最小值。+-=1例9.已知椭圆2516外一点A(5,6),为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P例+习到E的距离为d,求5的最小值。4、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例10.定长为摩/的线段AB的两个端点分别在椭圆b上移动，求AB的中点M到椭圆右准线？的最短距离。考点四直线与椭圆相交问题题型1直线与
7、椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有还不够，且用数形结合的思想。(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但0这一制约条件不同意。b2=AB=Ji+k|x1x2=Ji+=Iy1-y2=Ji+k(a,b,c为kac!v.=x1x2a方程的系数)例11.已知直线l过椭圆8x2+9y2=72的一个焦点，斜率为2,l与椭圆相交于M、N两点,求弦MN的长。题型2“点差法”解题。“设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤：1.设A(xi,yi)B(X2,y2)分别代入椭圆方程；b22ab2Xoa2
8、yo2,、，y1-y2b(x1x2)设p(Xo,yo)为AB的中点。两式相减，义=一X1-X2a(yy2)3.得出k=4Xi-X22注：一般的，对椭圆与a2+马=1上弦AB及中点，M,有Kab-Komb22例12.已知椭圆+y2=1,求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程2考点五.轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1. 直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x,y),直接列出动点所应满足的方程。代入法：一个是动点Q(xo,yo)在已知曲线F(x,y)=0,上运动，而动点P(x,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式又=f(x,y)、y。=y(x,y)2
9、. 定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。参数法：在x,y间的方程F(x,y)=o难以直接求得时，往往用(t为参数)n=y(t)来反映x,y之间的关系。常用的参数有斜率k与角a等。例13:AABC的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6),另两边斜率的乘积是轨迹方程：(2011四川卷理)(本小题满分12分)考点六综合性问题，与平面向量结合椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1.,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q当|CD|=2J2时，求直线l的方程；2(II)当点P异于A、B两点时，求证
10、：OPOQ为定值。2解：由已知可得椭圆方程为普+x2=1,设l的方程为y1=k(x0),k为l的斜率.则y=kx“1y22=（2.k2）x2.x=1.22kx1x2=22k-12-k2y1y2=32-k2-2k2y1y2=22-k2kx1=0=xx1/、2,、28k288k48k29,2X232）成-y2）（2k。）？=2=k=2=k=-2二l的方程为y=J2x+1或y=-J2x+1为所求.(n)当直线l与x轴垂直时与题意不符.设直线l的方程为y=kx+1,(k#0且k#1)，所以P点坐标为(一1,0).2k1该C(x，y)，D(x2,y2)，由(1)知为+x2=2，xx2=2，2k2k直线A
11、C的方程为)=一优+1)，直线BD的方程为y=1(x1)xi1x2T因为-1X1,X21,所以B与业异号.将两直线方程联立，消去y得B=7znx-1y（x2-1）x-1yi.2.八22,八2xl2_y2(Xi1)_2_2X2(Xi1)_(1Xi)(1X2)(-772-TX-1y1(x2-1)2-2X1(x2-1)(1-X1)(1-X2)-1_2k1k22k2-21一亍_2k-1一-2k2=(2=kX1X2k(X1X2)12(1k)(1k)k222(1k)22k22L1Lz1，解得X-kX-1k1因此Q点坐标为(k,y0),oPoQ=(_L,O)_(k,yo)=1k故OpOQ为定值.(2013四
12、川卷理)(本小题满分12分)22已知椭圆C:与十与=1,(aAba0)的两个焦点分别为F1(1,0),F2(1,0),且椭圆C经过ab点P(4,1)-33(I)求椭圆C的离心率；(n)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且2|AQ|21|AM|2|AN|2求点Q的轨迹方程.解：(1)由椭圆定义知,所以a=.2.又由已知，c=1.c1J2所以椭圆C的离心率e=户=-.2(2)由(1)知，椭圆C的方程为+y2=1.2设点Q的坐标为(x,y).当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点，此时点3贿)(2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+2.因为MN在直线l上，可设点MN的坐标分别为(xi,kxi+2),(x2,kx2+2),一.-99_9-99则|AM=(1+k)xi,|AN=(1+k)x2.一一一D22.22又|AQ=x+(y2)=(1+k)x.Q的坐标为由一2-=1一2-一12,得|AQ|AM|AN|2112=2221kx1kx11kx2即322xx-1x22(x1牧2)x1x2_22.x1x22将y=kx+2代入+y2=1中，得2(2k2+1)x2+8kx+6=0.由=(8k)2
