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1、Anderson 局域化的简介及相关物理图像第一小组 1958年安德森（P.W. Anderson）在其著名文章“某些无序晶格中扩散的消失”中讨论了无序晶体中电子的运动，提出了强无序体系中电子局域化的新的概念，使人们认识到无序体系有本质上新的行为，并不能纳入原有的理论框架，人们开始用新的眼光审视无序的影响。研究工作除物质的电子结构外，还扩展到其他领域，无序的物理逐渐成为凝聚态物理中人们关注的一个主题。一、扩展态与局域态扩展态：具有严格周期性格点排列的晶体，电子运动是公有化的，其Bloch波函数扩展在整个晶体中，这种态被称为扩展态。局域态：如果存在随机的无序杂质，晶格的周期性被破坏，此时电子波函
2、数不再扩展在整个晶体中，而是局域在杂质周围，在空间中按指数形式衰减，这种态称为局域态。一、 无序导致的局域在理想的周期系统中，电子的本征态是扩展的，是有确定波矢的布洛赫波，在晶体各元胞的等价点上有相同的概率幅。少量杂质的存在使电子受到辐射，产生能量相同的本征态之间的跃迁，经平均自由程的长度相位有无规的改变（图1（a）。但此时，波函数还是扩展的，范围仅受样品边界的限制。这里，扩展态的概念已有所推广，除布洛赫态外，还包括在空间可有相当明显的起伏变化的一类。无序的增强，仅使平均自由程变短，因而电导率下降，这是我们原有的物理图像。在这方面，新的认识主要有二，其一是电子经弹性散射，相位有确定的改变，当然
3、，改变量依不同的散射而异。在这种意义下，电子保持着相位的记忆。这将在下文中讨论。其二，如无序足够强时，波函数可以是局域的，波函数的包络随距离的增加指数衰减（图1（b），则 （1）其中，r0是局域态的中心位置，对于宏观均匀的无序体系，r0在空间应有均匀的分布；称为局域化长度（localization length）。由于不同的局域态应彼此正交，波函数本身如图1(b)所示，仍是起伏振荡的。这是1958年安德森最早指出的。图1、（a）平均自由程为的扩展态波函数示意； （b）局域化长度为的局域态波函数示意二、Anderson 局域假定有一周期势如图二（a）所示，每个原子由一方势阱表示并只有一个价电子，
4、在孤子原子极限下占据在图中原子势阱处水平短线表示的束缚能级上。在晶体中，这一原子能级因波函数的交叠关联展宽成宽度为B的能带。无序可以两种形式引人，一种是每一格点相对于平衡位置有一无规偏移，另一种是原子位置保持在格点上，势阱的深度、因为束缚能级从一个格点到另一个格点无规变化（图2（b）。安德森的讨论采用后一种无序情形。图2、安德森局域的单电子紧束缚图像在体系的长程有序消失后，波矢k不再是描述电子态的好量子数，因此对无序体系电子态的研究，广泛采用紧束缚近似，从院子轨道波函数，或Wannier函数出发来讨论。这里，取波函数为归一化院子波函数的线性组合， （2）其中是第i个原子所处的位置，一般为简单，
5、仅考虑每个原子只有一个原子能级的情形，且假定不同格点上的原子波函数彼此近似正交。体系的单电子哈密顿量 （3）V(r)取为体系中所有原子势的综合，由于 （4）决定的矩阵方程为 （5）一般取 （6）对于晶态体系，我们熟习的结果是原子能级展宽为能带，带宽,z是格点的最近邻数，或称为配位数。Anderson文章所用哈密顿量为 （7）这是根据（4）式，用二次量子化形式写出的紧束缚哈密顿量，其中，分别代表电子在位置i上的产生和湮灭算符。无序是通过原子位置保持在规则排列的格点上，但势阱深度（因为束缚在该势阱中的电子能级）从一个格点到另一格点无规变化来引入的，在Anderson模型中，取为在某一能量间隔W内均
6、匀分布的独立无规变化量，分布函数 (8)无序程度反映在W大小的不同上，当，取常数值时，回到理想的周期场情形，的取法与（6）式相同，当i，j为最近邻时取为常数T,此外为零。Anderson文章要回答的基本问题是：无序体系中电子本征态是局域在某一点附近，还是扩展到整个体系，以及这一结果与无序程度的关系。Anderson采用的对局域化的判断标准是：假如t=0时刻，电子的波函数恰好是在格点n处的局域波函数，即（2）式中，而所有的，由于这并非哈密顿量（7）式的本征函数，它将随时间变化。求解含时薛定谔方程可得到经过时间t后再格点n上找到这个电子的几率。如果电子态是非局域的，电子会离开格点n，在体系中传播，
7、有。如果电子态是局域的，电子波函数的振幅将随与格点n的距离增加指数衰减，局域在其初始位置附近，维持有限值。Anderson利用格林函数方法讨论了这一本征函数随时间的变化问题，引入了一个刻画无序程度的无量纲参量,得到的结论是，对于三维无序体系，当W/B大于某一临界值时，无序体系中所有的本征态都是局域态，的数值大于为2，即 （9）由于这一问题的理论处理较为复杂，在这里不做赘述。这里给出一种有助于理解Anderson结果，特别是有助于了解哈密顿量（7）中和作用的说明。先看简单的两原子问题，假定两个势阱中电子的能量分别为和，波函数分别为，总波函数可写为 （10）如果两个势阱相同，由方程（5）可解出体系
8、有两个状态，波函数和相应的能量差分别为 （11）所得结果中重要的启示是尽管两个势阱空间位置可能会相距甚远，以至于交叠积分很小，但处在态的电子在每个阱处有相同的概率。对于的情形，解有相近的性质，即对于的相反情形，图像则完全不同，体系仍然有两个可能的状态，第1个态，能量接近，波函数接近于，（10）式中系数比。第2个态，.在两势阱系统的每个态中，电子基本上仅属于其中的一个阱，不发生电子的公有化。在大尺度的三维体系中，考虑一个小的能量范围，从上面的结果可合理的认为，如果两个最近邻格点的电子能量和落在这一范围内，则电子为两格点所共有，它们是“连接”起来的。如果把体系中符合上述条件的格点都用线连接起来，则
9、会出现一些团簇（cluster），在一个团簇内，电子有大致相同的概率出现在所属各个格点上。抹去团簇外的格点，可显示出波函数在空间扩展的程度。当电子能量在和之间的格点在总格点中的比例x小时，只能形成小的团簇，电子态是局域的。D增大时，几个小的团簇可能会连接起来，成为大的团簇，x增大到某一临界值时，出现无限大的团簇，电子波函数是扩展的，发生从局域到非局域的变化，文献上陈这种源于无序的转变为Anderson转变（Anderson transition）。四、安德森局域的直观说明计算机模拟、声波模拟可为安德森局域的出现能提供个非常直观的说明，例如何善进（Shanjin He）和Maynard，他们在一
10、根绷紧的细长钢丝上，每隔15cm固定一个小铅块，总共50个，以此来模拟周期势，在钢丝的一端用横波激励并进行扫频，在另一端接收整个系统的响应，可以得到类似于能带结构的结果，在体系中得以传输的本征频率构成导通的带（pass band），带间有能隙存在，图4（a）和（b）是对两个许可态沿钢丝测量各点响应的结果，给出振幅随位置的变化，明显的为扩展态，定性的与布洛赫态一致。无序可由挪动铅块位置产生，图4（c）（g）给出铅块位置无规挪动，最大偏离在0.02a之内的结果，a为周期排列的晶格常数，图中可明显的看出无序导致的局域，最局域的是（c），这是出现在能隙中的态。态（c）的局域化长度约为2.2a。图4（h）是由于相互作用导致（c）（d）混合的结果，不属于我们讨论的范围。图4、本征态振幅作为沿钢丝位置的函数（a） ，（b）我布洛赫态，（c）（g）为2%无序系统的本征态（h）为c和d相互作用导致的混合(引进自何善进和J.D.Maynard，Phys，Rev，Lett，57（1968），3171)
