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1、武汉邦德艺考教育2013年高考数学复习资料（四）类型四：解析几何5、已知椭圆C的方程为，点P（a,b）的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程.（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.思路点拨：本题求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识.解析：（1）设点A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），点Q的坐标为Q（x,y）. 当x1x2时，可设直线l：y=k(x-a)+b 由已知， y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 由得y1+y2=k(x1
2、+x2)-2ak+2b 由、及，得 点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0 当x1=x2时，l平行于y轴， 因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a,0）， 显然Q点的坐标满足方程. 综上所述，点Q的坐标满足方程：2x2+y2-2ax-by=0. 设方程所表示的曲线为L， 则由，得（2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0 由于=8b2(a2+-1)，由已知a2+1 所以当a2+=1时，=0， 曲线L与椭圆C有且只有一个公共点P（a,b）. 当a2+1时0，曲线L与椭圆无交点， 而因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上， 所以曲线L在椭圆C内. 故点Q的轨迹方程为2x2+y2
3、-2ax-by=0.（2）由，解得或， 又由，解得或， 则当a=0,b=0,即点P(a,b)为原点. 曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0) 当a=0且0|b|时, 即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时, 点(a,0)与(0,0)重合，曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0) 当b=0且0|a|1时， 即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时, 曲线L与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0). 当0|a|1且0|b|时, 即点P(a,b)在椭圆C内且不在坐标轴上时, 曲线L与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与(0,0).总结升华：本题充分运用了分类讨论的思想方
4、法,以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为考题区分度好,特别是分类讨论时易出错.举一反三：【变式1】讨论k的取值，说明方程表示的曲线.解析：方程中x、y的平方项系数是否为0，是否相等决定着方程表示的曲线，故需要对k值就以上情况分类讨论.当k2=0即k=0时，方程化为，表示顶点在原点，x轴为对称轴，开口向左的抛物线.当2k-1=0即时，方程化为x(x-8)=0x=0或x=8，表示y轴和过点(8，0) 斜率不存在的两平行直线.当k2=2k-1,即k=1时，方程化为，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆 当k0，k1时方程可化为当方程表示焦点
5、在平行y轴直线上，中心在的椭圆当时，方程表示以为中心，焦点在x轴上的双曲线.【变式2】已知圆x2+y2=1和双曲线(x-1)2-y2=1，直线l与双曲线交于不同两点A、B，且线段AB的中点恰是l与圆相切的切点，求直线l的方程.解析：当l斜率不存在时，由对称性可知：l方程为x=-1当l斜率存在时设l方程为y=kx+b由l与圆相切l方程代入双曲线整理得(1-k2)x2-2(kb+1)x-b2=0 (1-k20)，0设A(x1，y1)，B(x2,y2)，AB中点为M，由ABOM，整理得k2+1+2kb=0将k2+1=b2代入b2+2bk=0,b(b+2k)=0b0，否则l过原点与圆不相切b=-2k，解方程组得经检验0l的方程为x=-1或
