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1、燕尾定理例题精讲燕尾定理:在三角形中，,相交于同一点，那么,上述定理给出了一种新的转化面积比与线段比的手段,由于和的形状很象燕子的尾巴，因此这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中均有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一种三角形之中,为三角形中的三角形面积相应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题 证明燕尾定理： 如右图，是上任意一点,请你阐明：【解析】 三角形与三角形同高,分别以、为底，因此有;三角形与三角形同高，;三角形与三角形同高，因此;综上可得, . 【例 1】 （第七届但愿杯五年级一试试题)如图,三角形的面积是,是的中点，点在上,且,与交于点.则四边形的面积等于 .
2、 【解析】 措施一:连接，根据燕尾定理, 设份,则份,份,份,如图所标因此措施二：连接,由题目条件可得到，因此,而因此则四边形的面积等于【巩固】如图，已知,，三角形的面积是，求阴影部分面积.【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其她条件给出的事实上是比例的关系,由此我们可以初步判断这道题不应当通过面积公式求面积 又由于阴影部分是一种不规则四边形，因此我们需要对它进行改造,那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接,由于,三角形的面积是0，因此,.根据燕尾定理，,因此,因此阴影部分面积是. (法二）连接,由题目条件可得到，,因此， ， 而.因此阴影部分的面积为【巩固】如图,三角形的面积是，在
3、上,点在上，且，与 交于点.则四边形的面积等于 .【解析】 连接,根据燕尾定理, 设份，则份，份，份,份，因此【巩固】如图,已知，,与相交于点，则被提成的部分面积各占面积的几分之几？【解析】 连接,设份,则其她部分的面积如图所示,因此份，因此四部分按从小到大各占面积的【巩固】（年香港圣公会数学竞赛)如图所示,在中,，与相交于点，若的面积为,则的面积等于 【解析】 措施一：连接由于,，因此,由蝴蝶定理知，,因此措施二:连接设份,根据燕尾定理标出其她部分面积，因此【巩固】如图，三角形的面积是，与相交于点,请写出这部分的面积各是多少?【解析】 连接,设份，则其她几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，
4、因此，,，【巩固】如图，在上，在上，且,，与交于点.四边形的面积等于，则三角形的面积 .【解析】 连接,根据燕尾定理，, 设份，则份，份，份,份,份，如图所标，因此份，份因此【巩固】三角形中,是直角，已知,那么三角形(阴影部分)的面积为多少？【解析】 连接.的面积为根据燕尾定理,;同理设面积为1份,则的面积也是1份，因此的面积是份，而的面积就是份,也是份,这样的面积为份，因此的面积为【巩固】如图,长方形的面积是平方厘米，是的中点阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】 设份,则根据燕尾定理其她面积如图所示平方厘米【例 2】 如图所示，在四边形中,，四边形的面积是，那么平行四边形的面积为_. 【解
5、析】 连接，根据燕尾定理,设，则其她图形面积,如图所标,因此.【例 3】 是边长为厘米的正方形，、分别是、边的中点，与交于，则四边形的面积是_平方厘米. 【解析】 连接、，设份,根据燕尾定理得份，份,则份，份,因此【例 4】 如图,正方形的面积是平方厘米,是的中点，是的中点，四边形的面积是_平方厘米 【解析】 连接,根据沙漏模型得,设份,根据燕尾定理份,份,因此份,因此(平方厘米)【例 5】 如图所示,在中，是的中点,那么 【解析】 连接.由于，因此，根据燕尾定理,.【巩固】在中, ，求? 【解析】 连接.由于,根据燕尾定理，,即；又，因此则，因此.【巩固】在中,， ,求？【解析】 题目求的是
6、边的比值，一般来说可以通过度别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度,因此应当通过面积比而得到边长的比.本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一种,因此应当补全，因此第一步要连接.连接由于，根据燕尾定理,，即；又,因此.则,因此【例 6】 （清华附中入学测试题）如图，四边形是矩形，、分别是、上的点，且，与相交于，若矩形的面积为,则与的面积之和为 【解析】 （法1)如图，过做的平行线交于,则，因此，即，因此.且，故,则.因此两三角形面积之和为(法)如上右图,连接、.根据燕尾定理，,，而，因此，,，则,，因此两个三角形的面积之和为1【例 7】
7、 如右图，三角形中，,求.【解析】 根据燕尾定理得 (均有的面积要统一，因此找最小公倍数）因此【点评】本题核心是把的面积统一，这种找最小公倍数的措施，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形中，,求.【解析】 根据燕尾定理得 （均有的面积要统一,因此找最小公倍数）因此【巩固】如图,则 【解析】 根据燕尾定理有，因此【巩固】如右图,三角形中，,求.【解析】 根据燕尾定理得 （均有的面积要统一,因此找最小公倍数)因此【点评】本题核心是把的面积统一，这种找最小公倍数的措施,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质，
8、我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!【例 8】 (“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形中,且三角形的面积是,则三角形的面积为_，三角形的面积为_,三角形的面积为_ 【分析】 连接、由于，因此,故;根据燕尾定理,，因此，则，；那么；同样分析可得,则，因此,同样分析可得，因此,【巩固】 如右图，三角形中,且三角形的面积是,求三角形的面积.【解析】 连接BG,份根据燕尾定理,得(份）,(份),则(份),因此,同理连接AI、CH得,因此三角形GI的面积是，因此三角形ABC的面积是19【巩固】（第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，中,，那么的面积是阴影三角形面积的 倍. 【分析】
9、如图,连接.根据燕尾定理,因此，,那么，.同理可知和的面积也都等于面积的,因此阴影三角形的面积等于面积的，因此的面积是阴影三角形面积的7倍【巩固】如图在中，,求的值【解析】 连接BG,设1份,根据燕尾定理，得(份)，(份),则（份)，因此,同理连接AI、C得,，因此【点评】如果任意一种三角形各边被提成的比是相似的,那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面诸多题目都是用“同理得到”的,即再反复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线【巩固】如图在中，,求的值.【解析】 连接BG,设1份,根据燕尾定理，得(份),(份)，则(份),因此,同理连接AI、H得,因此【巩固】
10、如右图，三角形中，,且三角形的面积是，求角形 的面积.【解析】 连接G,12份根据燕尾定理,，得(份),(份),则(份)，因此,同理连接A、CH得,因此三角形ABC的面积是,因此三角形GI的面积是【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一种四边形,如图所示，三个三角形的面积 分别是,，则阴影四边形的面积是多少？【解析】 措施一:遇到没有标注字母的图形,我们第一步要做的就是给图形各点标注字母,以便背面的计算.再看这道题,浮现两个面积相等且共底的三角形.设三角形为,和交于，则，再连结因此三角形的面积为3设三角形的面积为,则,因此，四边形的面积为.措施二：设，根据燕尾定理，得到,再根据向右下飞的
11、燕子,有，解得四边形的面积为【巩固】右图的大三角形被提成个小三角形,其中个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 【解析】 措施一：整个题目读完,我们没有发现任何与边长有关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼,由此，我们可以推断，这道题不能依托三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一种比例关系：，解得.措施二：回忆下燕尾定理，有，解得【例 10】 如图，三角形被提成个三角形,已知其中个三角形的面积，问三角形的面积是多少？【解析】 设,由题意知根据燕尾定理,得,因此,再根据,列方程解得,因此因此三角形AB的面积是【例 11】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点,E为
12、AC中点，为C中点，求阴影部分的面积.【解析】 令E与CD的交点为M，CD与EF的交点为N,连接M,B.在中,根据燕尾定理,，因此由于S,因此在中，根据燕尾定理，设(份),则（份）,(份）,(份)，因此,由于，为BC中点,因此,，因此(平方厘米）【例 12】 如右图,中,是的中点，、是边上的四等分点，与交于,与交于,已知的面积比四边形的面积大平方厘米,则的面积是多少平方厘米?【解析】 连接、.根据燕尾定理,，因此；再根据燕尾定理，因此,因此,那么,因此根据题意,有，可得（平方厘米）【巩固】(四中分班考试题)如图,中,点是边的中点，点、是边的三等分点,若的面积为1，那么四边形的面积是_. 【解析
13、】 由于点是边的中点，点、是边的三等分点,如果能求出、三段的比，那么所提成的六小块的面积都可以求出来,其中固然也涉及四边形的面积.连接、.根据燕尾定理，,而，因此，那么,即那么，.另解：得出后,可得,则【例 13】 如图，三角形的面积是,，三角形被提成部分,请写出这部分的面积各是多少？ 【解析】 设BG与AD交于点，BG与AE交于点Q,与A交于点M，F与AE交于点N连接CP，CQ，CM，CN.根据燕尾定理，,设(份)，则(份)，因此同理可得,，,而，因此,.同理,因此，,【巩固】如图,的面积为1,点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？ 【解析】 连接、根据燕尾定理,，因此,那么，类似分析可得又,可得.那么,根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周边的图形的面积之和为，因此四边形的面积为.【例 14】 如右图,面积为的中,，,求阴影部分面积【解析】 设交于,交于，交于.连接， .
