数学建模论文太阳影子定位的数学建模分析

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1、 赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的

2、公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）： 参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日（此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面，注意电子版论文中不得出现此页。以上内容请仔细核对，特别是参赛队号，如填写错误，论文可能被取消评

3、奖资格。）赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人备注送全国评奖统一编号（由赛区组委会填写）：全国评阅统一编号（由全国组委会填写）：此编号专用页仅供赛区和全国评阅使用，参赛队打印后装订到纸质论文的第二页上。注意电子版论文中不得出现此页，即电子版论文的第一页为标题和摘要页。题 目 太阳影子定位的数学建模分析摘要： 纵观题目，四问看似问法不同，但是内在之间存在很强的联系，首先我们根据收集的数据和大量的分析，引进许多物理量，其中包括太阳高度角（），太阳赤纬角（），当地纬度（），时角（），经度（r），影长（），

4、一年中日期序号（n）等，同时我们根据这些物理量之间的联系，对给定或收集的数据进行拟合，得出影子长度和各个参数之间的关系：,我们根据这些参数之间的关系，利用Matlab软件，编写程序，从而画出了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。在第二第三问中，我们根据第一问拟合出的函数关系，以及给定的数据从中选取了三组数据，分别是北京时间2015年4月18日，14:42、15:12、15：42，然后算出三个时间点对应的时角（），时间 14:42 15:12 15:42时角 40.54855.5

5、又因为我们已知太阳高度角与影长的关系式，由附件1中给出坐标，求得影长,所以可以求得。在14:42时， 在15:12时， 在15:42时， 又已知可求得当地纬度，根据经度和维度之间的函数关系式, 即可确定可能的地点。观看附件4中直杆在太阳下的影子变化的视频，我们也可以建立相似的数学模型，来确定所处的位置，唯一有点不同的就是，直杆的长度发生了变化，所以我们在这问中还引进了直杆长度和影长等各个参数之间的关系，从而来确定可能的位置。关键字：太阳高度角，线性拟合，建立模型，函数关系，太阳赤纬角，日期序号问题的重述：影子定位是当下一个热门话题，我们也曾在电影黑武士里看到其应用，但关于影子定位还存在很多讨论

6、，可我们都知道太阳是由东向西移,而影子则是由西向东移.例如,早晨6时,太阳从东方升起,一切物体的阴影都倒向西方；到中午12时,太阳位于正南,影子便指向北方；到下午6时,太阳到正西,影子则指向东方.因此,可用太阳和物体的阴影概略地测定方向。 俗话说：“立竿见影”,用一根标杆（直杆）,使其与地面垂直,把一块石子放在标杆影子的顶点A处；约10分钟,标杆影子的顶点移动到B处时再放一块石子,将A、B两点连成一条直线,这条直线的指向是东西方向,与AB线垂直的方向则是南北方向,向太阳的一端是南方,相反方向是北方。 依此法测定方向,插杆越高、越细、越垂直于地面、影子移动的距离越长,测出的方向就越准.特别是中午

7、12时前后.如11时半和12时半这两个时间的影子长度几乎相等,顶点的连线刚好指向东西方向,连线的垂直线也能较准确地指出南北方向。 在本次数学建模中我们有以下几个问题需要解决：1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3. 根据某固定直杆在水平地

8、面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。问题的分析：本文要求建立影子长度和各个参数变化规律的模型，并给出一些数据，包括坐标和时间，从而来确定所处的位子或是时间，所以我们就应该引进一些参数，来解决这些问题，其中包括：太阳高度角简称太阳高度(其实是角度) 对于地球上的某个地点，太阳高度是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。太阳高

9、度是决定地球表面获得太阳热能数量的最重要的因素。我们用来表示这个角度，它在数值上等于太阳在天球地平坐标系中的地平高度。 太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。太阳赤纬以表示，观测地地理纬度用表示，地方时(时角)以t表示，有太阳高度角的计算公式： sin sin sin sin cos cost 日升日落，同一地点一天内太阳高度角是不断变化的。日出日落时角度都为零度，正午时太阳高度角最大。 正午时时角为0，以上公式可以简化为： sin sin sin sin cos 其中，表示正午太阳高度角。 由两角和与差的三角函数公式，可得 sin cos() 观测点纬度， 如果与在同一半球，则“纬度

10、差”为|-|（减差的绝对值） 如果与在异半球，则“纬度差”为 说起来好像很麻烦，其实只要脑袋里有个地球的模型就简单了 比如太阳直射点是北纬10，观测点是北纬30，纬度差当然是20 如果太阳直射点是南纬10，观测点是北纬30，纬度差当然是40 事实上，计算“正午太阳高度角”，根本就不要考虑“正午”这个因素 只要用90减去观测点与太阳直射点的纬度差，得出的就是正午太阳高度角。 只需记住一个公式正午太阳高度角90该地与太阳直射点纬度差，由于太阳赤纬角在周年运动中任何时刻的具体值都是严格已知的，所以它（ED）也可以用与式（1）相类似的表达式表述，即： ED=0.372323.2567sin0.1149

11、sin20.1712sin30.758cos0.3656cos 20.0201cos3。春分秋分时=0，夏至日是=23.5，冬至时=-23.5，w为时角，是用角度表示时间，每15度为1个小时，而且正午时，w=0,上午,w0,下午w0.n为一年中的日期序号，如春分日时，n=81。符号约定：太阳高度角（）太阳赤纬角（）当地纬度（）时角（）经度（r）影长（）一年中日期序号（n）模型的假设：1.假设在前三问中，直杆的高度都是三米。2.假设给定数据中，x和y的坐标所对应的是地球上的经度和纬度。3.把太阳的坐标系从地平坐标系换到第一赤道坐标系。4.假设太阳光是平行光线。5.假设一年中不同时间里的同一天的同

12、一时间影子角度变化可以忽略。模型的建立和求解：第一问模型的建立和求解： 太阳是距离地球最近的恒星，相比于其他行星或卫星，太阳的光照强，面积大，因此对太阳光产生的影子应用也很广泛，在第一问中我们可以根据太阳的运动规律和当地地理位置及时间，地道太阳角度信息。太阳高度角简称太阳高度(其实是角度) 对于地球上的某个地点，太阳高度是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。太阳高度是决定地球表面获得太阳热能数量的最重要的因素。我们用来表示这个角度，它在数值上等于太阳在天球地平坐标系中的地平高度。 太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。太阳赤纬以表示，观测地地理纬度用表示，地方时(时角)以t表示，有太

13、阳高度角的计算公式： sin sin sin sin cos cost 日升日落，同一地点一天内太阳高度角是不断变化的。日出日落时角度都为零度，正午时太阳高度角最大。 正午时时角为0，以上公式可以简化为： sin sin sin sin cos 其中，表示正午太阳高度角。 由两角和与差的三角函数公式，可得 sin cos() 因此， 对于北半球而言，90()； 对于南半球而方，90()。 还是举个例子来推导，假设春分日（秋分日也可，太阳直射点在赤道） 某时刻太阳直射(0，120e)这一点，120e经线上各点都是正午 这点离太阳直射点的纬度距离是0度（因为就是自己） 此时，（0，120e）的太阳高度角就是90（因为直射它） 另外一个观测点，（1n，120e）与太阳直射点的纬度差为1度 此时，这一点的太阳高度角为89（涉及立体几何计算，此处就不详细推导了），（1s，120e）与太阳直射点的纬度差也是1度 因此，当地的太阳高度角也是89！ 同一时刻，下列各观测点，报告的太阳高度角度数如下： 南北纬2度（与太阳直射点相距2纬度）：88（902） 南北纬3度（与太阳直射点相距3纬度）：87（903） 南北纬10度（与太阳直射点相距10纬度）：80（9010） 南北纬30度（与太阳直射点相距30