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1、名校精品资料数学第2讲 矩阵与变换1 正如矩阵A,向量.求向量,使得A2.解 A2设,由A2,得解得.2在平面直角坐标系xOy中,设椭圆4x2y21在矩阵A对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程解设P(x0,y0)是椭圆上任意一点,点P(x0,y0)在矩阵A对应的变换下变为点P(x0,y0)则有 ,即又点P在椭圆上,故4xy1,从而xy1.曲线F的方程是x2y21.3已知矩阵M,N,且MN.(1)求实数a、b、c、d的值;(2)求直线y3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程解(1)由题设得:解得(2)矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点),可取直线y3x上的两点(0,0),(1,3)
2、,由 , ,得点(0,0),(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0,0),(2,2)从而,直线y3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为yx.4若点A(2,2)在矩阵M对应变换的作用下得到的点为B(2,2),求矩阵M的逆矩阵解由题意,知M,即,解得M.由M1M,解得M1.5已知二阶矩阵A,矩阵A属于特征值11的一个特征向量为a1,属于特征值24的一个特征向量为a2,求矩阵A.解由特征值、特征向量定义可知,Aa11a1,即1,得同理可得解得a2,b3,c2,d1.因此矩阵A.6已知矩阵M,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量解由矩阵M的特征多项式f()(3)210,解得1
3、2,24,即为矩阵M的特征值设矩阵M的特征向量为,当12时,由M2,可得可令x1,得y1,1是M的属于12的特征向量当24时,由M4,可得取x1,得y1,2是M的属于24的特征向量7求曲线C:xy1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线C1的方程解设P(x0,y0)为曲线C:xy1上的任意一点,它在矩阵M对应的变换作用下得到点Q(x,y)由 ,得解得因为P(x0,y0)在曲线C:xy1上,所以x0y01.所以1,即x2y24.所以所求曲线C1的方程为x2y24.8已知矩阵A,B,求(AB)1.解AB .设(AB)1,则由(AB)(AB)1,得 ,即,所以解得故(AB)1.9设矩阵M(其中a0,b0
4、)(1)若a2,b3,求矩阵M的逆矩阵M1;(2)若曲线C:x2y21在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C:y21,求a、b的值解(1)设矩阵M的逆矩阵M1,则MM1.又M. .2x11,2y10,3x20,3y21,即x1,y10,x20,y2,故所求的逆矩阵M1.(2)设曲线C上任意一点P(x,y),它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(x,y),则 ,即又点P(x,y)在曲线C上,y21.则b2y21为曲线C的方程又已知曲线C的方程为x2y21,故又a0,b0,10已知梯形ABCD,其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换,再将所得
5、图形绕原点逆时针旋转90.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M.(2)求点A,B,C,D在TM作用下所得到的结果解 (1)关于x轴的反射变换矩阵为M1,逆时针旋转90的变换矩阵为M2故MM2M1.(2)A:,即A(0,0)B:,即B(0,3)C:,即C(2,2)D:,即D(2,1)11已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1,并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值,及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系;(3)求直线l:xy10在矩阵M的作用下的直线l的方程解(1)设M,则 8,故因 ,故联立以上两方程组解得a6,b2,c4,
6、d4,故M.(2)由(1)知,矩阵M的特征多项式为f()(6)(4)821016,故其另一个特征值为2.设矩阵M的另一个特征向量是e2,则Me22,解得2xy0.(3)设点(x,y)是直线l上的任一点,其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x,y),则,即xxy,yxy,代入直线l的方程后并化简得xy20,即xy20.12已知矩阵A,A的一个特征值2,其对应的特征向量是1.(1)求矩阵A;(2)若向量,计算A5的值解(1)A.(2)矩阵A的特征多项式为f()2560,得12,23,当12时,1,当23时,得2.由m1n2,得解得m3,n1.A5A5(312)3(A51)A523(1)232535.13设矩阵M(其中a0,b0)若a2,b3,求M的逆矩阵M1;若曲线C:x2y21,在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C:y21,求a,b的值解 设M1,则MM1又M,.2x11,2y10,3x20,3y21.即x,y10,x20,y2.M1.设C上任一点P(x,y),在M作用下得点P(x,y),则,来源 ,又点P(x,y)在C上,所以y21.即b2y21为曲线C的方程又C的方程为x2y21,又a0,b0,所以