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1、第十四章检测题第卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(2011年四川绵阳中学)设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直,则a()A. 2B. C. D. 2解析y,由题意知f(3),即,a2.答案B2(2010年北京石景山)已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的图象最有可能的是 ()解析由f(x)的图象知0和2是f(x)的极值点,且x0时,f(x)单调递减,故选A.答案A3(2010年辽宁)已知点P在曲线y上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是()A.0,)
2、 B,)C(, D,)解析y,y.ex0,ex2,y1,0),tan1,0),又0,),),故选D. 答案D4(2010年全国)若曲线yx在点(a,a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a()A64 B32C16 D8解析yx,切线的斜率ka.切线方程为yaa(xa)从而直线的横、纵截距分别为3a、a.所以三角形的面积S3aaa,由a18得a64.答案A5已知函数f(x)x3ax2bxc,x2,2表示的曲线过原点,且在x1处的切线斜率均为1,给出以下结论:f(x)的解析式为f(x)x34x,x2,2;f(x)的极值点有且仅有一个;f(x)的最大值与最小值之和等于0,其中正确的结论
3、有()A.0个 B1个C2个 D3个解析由题得:c0,f(x)x3ax2bx,f(x)3x22axb,f(x)x34x.f(x)3x240,知极值点为x2,2,从而知正确答案C6函数f(x)(x21)32的极值点是()A. x1 B. x1C. x1或1或0 D. x0解析f(x)x63x43x21,则由f(x)6x512x36x0,得x1或x1或x0,由f(x)6x512x36x6x(x1)2(x1)2,知当x(,1)时,f(x)0;当x(1,0)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0.所以f(x)在(,1,1,0上单调递减,在0,1,1,)上单调递增因此只有x0为极小值点,x1和x1都
4、不是极值点答案D7函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是()A1,1 B1,17C3,17 D9,19解析用导数法解,先求极值,再求最值,令f(x)3x230,得x1.f(1)1313,f(3)17,f(0)1.最大值为3,最小值为17.答案C8函数f(x)cos2x2cos2的一个单调增区间是()A. (,) B. (,)C. (0,) D. (,)解析解法一:f(x)cos2xcosx1,f(x)2sinxcosxsinxsinx(12cosx),令f(x)0结合选项,故选A.解法二:把选项中特殊角代入验证,故选A.答案A9(2011年江西九校)函数f(x)3xx3在
5、区间(a212,a)上有最小值,则实数a的取值范围是()A. (1,) B. (1,4)C. (1,2) D. (1,2解析f(x)3xx3,f(x)33x23(x1)(x1),函数在(,1)上为减函数,在1,1上为增函数,在(1,)上为减函数,要使函数f(x)3xx3在区间(a212,a)上有最小值,则实数a满足10,导函数的图象要在x轴上方,排除B;当露出部分到达图中的B点到C点之间时,S(t)增长速度变缓;S(t)图象要下降,排除C;当露出部分在B点上下一瞬间时,S(t)突然变大,此时在B点处的S(t)不存在,排除D,而A符合条件,故选A.答案A第卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大
6、题共4小题,每小题5分,共20分请把正确答案填在题中横线上)13(2010年江西九校)已知曲线f(x)3xcos2xsin2x,且af(),f(x)是f(x)的导函数,则过曲线yx3上一点P(a,b)的切线方程为_解析f(x)3xcos2xsin2x,f(x)32sin2x2cos2x,af()321,又点P在曲线yx3上,则b1,根据yx3,y3x2,则过P的切线的斜率为1,所以过yx3一点P(1,1)的切线方程为xy0,故填xy0.答案xy014函数yf(x)x3ax2bxa2在x1时,有极值10,那么a,b的值为_答案a4,b1115如图是yf(x)导数的图象,对于下列四个判断:f(x)
7、在2,1上是增函数;x1是f(x)的极小值点;f(x)在1,2上是增函数,在2,4上是减函数;x3是f(x)的极小值点其中判断正确的是_答案16若函数f(x)x3ax在R上为增函数,则a的取值范围是_解析f(x)3x2a,f(x)在R上为增函数,3x2a0在xR时恒成立a3x2恒成立,即a(3x2)min0,当a0时,f(x)3x2,只有f(0)0;x0时,f(x)0,因此f(x)在R上也是增函数答案a0三、解答题(本大题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)17(10分)已知函数f(x)x3x22ax在点x1处取极值,且函数g(x)x3x2ax在区间(a6,2a3
8、)上是减函数,求实数a的取值范围解f(x)x3bx2(2a)x2a,由f(1)0,得b1a,当b1a时,f(x)x3(1a)x2(2a)x2a(x1)(x2)(xa),如果a1,那么x1就只是导函数值为0的点而非极值点,故b1a且a1.g(x)x3bx2(a1)xax3(1a)x2(a1)xa(xa)(x2x1)当xa时,g(x)0,g(x)在(,a)上单调递减,(a6,2a3)(,a),a62a3a,故所求a的范围为3a3.综上可知a的取值范围应为30.(1)若a1,求曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)若在区间上,f(x)0恒成立,求a的取值范围解(1)当a1时,f(x)x
9、3x21,f(2)3;f(x)3x23x,f(2)6.所以曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y36(x2),即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0,解得x0或x.以下分两种情况讨论:若00等价于即解不等式组得5a5.因此02,则00等价于即解不等式组得a5或a.因此2a5.综合和,可知a的取值范围为0a5.20(12分)(2010年重庆)已知函数f(x)ln(x1),其中实数a1.(1)若a2,求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)若f(x)在x1处取得极值,试讨论f(x)的单调性解(1)f(x).当a2时,f(0),而f(0),因此曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y()(x0),即7x4y20.(2)因a1,由(1)知f(1),又因f(x)在x1处取得极值,所以f(1)0,即0,解得a3.此时f(x)ln(x1),其定义域为(1,3)(3,),且f(x),由f(x)0得x1