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1、多角度破解多变元范围问题在近几年的高考题目中，有些多变元（量）确定范围问题，一般地可利用已知条件进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得范围（最值），且消元的方法较多.另外，某些题目也可以利用数形结合法求解.本专题重点说明从消元、数形结合等角度解答此类问题.（一）消元法：1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域2、常见消元的方法：（1）利用等量关系消元：
2、若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点： 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂） 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担.例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）（2）换元：常见的换元有两种：整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如等，例如在中，可变形为，设，则将问题转化为求的值域问题注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元
3、的范围三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围.因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：推广：平方差：联想到正割（） 与正切（）的平方差为1，则有，推广：注：若有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围3、消元后一元表达式的范围求法：（1）函数的值域通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（等）的条件，则可利用
4、均值不等式快速得到最值.（3）三角函数： 形如的形式：则可利用公式转化为的形式解得值域（或最值） 形如：则可通过换元将其转化为传统函数进行求解 形如：，可联想到此式为点和定点连线的斜率，其中为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围（二）放缩消元法1、放缩法求最值的理论基础： 不等式的传递性：若，则 2、常见的放缩消元手段：（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果（4）主元
5、法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果.3、放缩消元过程中要注意的地方：（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“”；若求最大值，则对应的不等号为“”.放缩的方向应与不等号的方向一致（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值.放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致.若将关于 的表达式进行放缩消去，得到，例如，则下一步需要求出的最小值（记为），即，通过不等式的传递性即可得到.同理，若放缩后得到：，则需要求出的最大值（
6、记为），即，然后通过不等式的传递性得到（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去（三）数形结合法1、数形结合的适用范围：（1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组（2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等）2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩.
7、【经典例题】例1. 已知函数，对任意的，存在，使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知，可得：，考虑进行代入消元，但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母，形式都比较复杂不利于求出最值.所以可以考虑引入新变量作为桥梁，分别表示，进而将变为关于的表达式再求最值.解：令 ，设可得且为增函数 在单调递减，在单调递增答案：D.例2. 若实数满足条件，则的取值范围是_【答案】【解析】思路一：考虑所求式子中可变为，所以原式变形为：，可视为关于的二次函数，设，其几何含义为与连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即，则思路二：本题也可以考虑利用三角换元.
8、设，从而原式转化为：，由可知的范围为答案：例3.已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是 【答案】 【解析】，在上成立，在上单调递减，又“对任意的恒成立”等价于“对任意的恒成立”，解得，的取值范围是故答案为例4. 设实数满足，则的取值范围是_【答案】【解析】思路：考虑可用进行表示，进而得到关于的函数，再利用不等式组中天然成立的大小关系确定的范围，再求出函数值域即可解： 由及（*）可得：，解得： 点睛：1.（*）为均值不等式的变形： ；2.主元变为a.例5.已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】设正项等比数列an的公比为q，且q0，由得：q
9、=+，化简得，q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去），因为aman=16a12，所以=16a12，则qm+n2=16，解得m+n=6，所以=（m+n）（）=（10+）=，当且仅当时取等号，此时，解得，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当m=2、n=4时，取最小值为，故选：B例6.已知，则的最小值为_【答案】【解析】，则，若，则，；若，可得，设，可设，即为，若，可得，成立；若，则，即，解得，即有z的最小值为，此时，成立故答案为：例7若实数、满足，且，则的最小值是_，的最大值为_【答案】2 【解析】实数、满足，且，则，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值是2，当且仅当
10、，即时取等号故的最大值为，故答案为：2，例8设实数满足，则的最大值为_【答案】【解析】思路：由可联想到与的关系，即，所以，然后可利用进一步放缩消元，得，在利用即可得到最大值：，所以的最大值为，其中等号成立条件为： 答案：点睛：本题也可从入手，进行三角换元：，由可得，然后根据不等号的方向进行连续放缩，消去 即可得到最值：.例9. 设，且，则的最大值是_ 【答案】12【解析】思路：本题虽然有3个变量，但可通过进行消元，观察所求式子项的次数可知消去更方便，从而可得.然后可使用“主元法”进行处理，将视为主元，即但本题要注意的取值范围与相关，即，通过配方（或求导）可知的最大值在边界处取得，即，从而达到消
11、去的效果，再求出中的最大值即可解： 设 为的极小值点 其中设若 可得：.例10.已知函数若存在实数，满足，则的最大值是_【答案】.【解析】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：存在实数abc，满足f（a）=f（b）=f（c），a+b=6，af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c6）lnc，由函数图象可知：ce2，设g（c）=（c6）lnc，则=lnc+1，显然在（，e2上单调递增，=20，=30，在（，e2上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（
12、c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2上单调递增，又g（）=（6）0，g（e2）=2（e26）0，g（c）的最大值为g（e2）=2e212故答案为：2e212点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6, ce2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.【精选精练】1已知，则取到最小值时（ ）ABCD【答案】D【解析】由，可得，且.所以，当且时等号成立，解得.所以取到最小值时.故选D.2若实数a，b满足ab0，则的最小值为（ ）A 8 B 6 C
13、 4 D 2【答案】C【解析】实数a，b满足ab0， 则， 当且仅当时等号成立 故选：C3【浙江省2019届高考模拟卷（二)】若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，设，结合图形可得或，由题意得点A,B的坐标分别为，或，的取值范围为故选D4.已知函数，若满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由已知条件可得，函数是定义在上的奇函数，从而将题中的条件转化为关于的二元一次不等式组，画出相应的可行域，之后结合目标函数的几何意义，确定
14、最优解的位置，从而求得范围.详解：根据题中所给的函数解析式，可知函数是定义在上的奇函数，从而可以转化为，并且，可以判断出函数在定义域上是减函数，从而有，根据约束条件，画出对应的可行域，根据目标函数的几何意义，可知在点处取得最小值，在点处取得最大值，而边界值取不到，故答案是，故选C.点睛：该题属于利用题的条件，求得约束条件，确定可行域，结合目标函数是分式形式的，属于斜率型的，结合图形，求得结果.5已知函数 ，函数 有四个不同的零点，从小到大依次为 ， ， ， ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据对称性可得，且，再根据韦达定理可得，利用基本不等式，结合选项可得结果.详解：函数 ，函数 的零点，就是的图象与交点的横坐标，是方程的两根，即为的两个根，由韦达定理可得，是的两根，的图象向左平移一个单位可得
