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1、直角三角形中成比例线段（二） 一、教学目的和要求 1. 使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。 2. 使学生会解直角三角形中，已知两个条件（至少一边）的题。 二、教学重点和难点 掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。 三、教学过程 （一）复习、引入 直角三角形有哪些性质？由学生回答再归纳。 （1）两锐角互余 （2）勾股定理 （3）斜边中线等于斜边一半 （4）角所对的直角边等于斜边的一半 （5）斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似 （6）根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。 （二）新课 今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。 我们知道中，于D，这里可以
2、得到三对相似三角形，分别写出它们对应边的比例式。（见图1）图1 在上面提到的三对相似三角形中都有一条公共边，但它们不会是对应边，将含有公共边的比例式改写成等积式是(1)中：这三个关系式在以前的课本上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这个结论在以后“圆”中运用较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题，（但注意不可直接使用）。这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系分析清楚，只要明白是哪两个三角形相似得来的，比例式自然就可写出。 如图2，CD是的斜边AB
3、上的高，设，用表示图中的关系。图2 1. 勾股定理 2. 比例中项关系 3. 面积关系 4. 其它 通过以上关系,我们可以分析出在的六条线段中知道任意两线段的长，可以求出其它线段的长。下面我们举出几种题型。 例1 如上图CD是的斜边AB上的高。 （1）已知： 解： 注意：求要选择其它方法都比较麻烦，利用面积关系最简单。 （2）已知： 解：先求利用勾股定理 （3）已知： 分析：求，必先知；与有关，而，其中是已知线段。 解： 练习：条件如例1 （1）已知： （2）已知： （3）已知： （4）已知： 请同学们充分讨论。目前解题中可以直接使用射影定理，目的为了熟悉直角三角形中边的各种关系。 例2 已知
4、：中，是直角，AD是高，AB2AC，求证：5AD2BC 分析：求证中是研究AD与BC的关系，斜边BC与斜边上的高，AD不会有比例关系，而AD与DC，BD有比例关系，且BCCDDB，由于，所以可利用。来求AD、BD、DC间倍数关系。图3 证明：是直角，AD是高 （三）小结 直角三角形中的成比例线段很重要，在以后的学习中经常会遇到。其中要抓住两直角边、及斜边上的高是比例中项的情况（即）。注意要使用这个关系时，还要再利用相似三角形对应边成比例证明一下。因为它不是定理。 由于直角三角形中的关系除了射影定理外，还有勾股定理，所以在求某一线段时，关系较多，方法并不唯一，请同学们认真分析题意。一般情况下，若勾股定理或射影定理都能使用时，往往利用射影定理，因为它的计算较勾股定理简单。 （四）作业 1. CD是的斜边AB上的高，设，。 （1）已知：； （2）已知：； （3）已知：； （4）已知：。 2. 已知：中，交BC于D，且AD是BD、DC的比例中项。 求证：是直角三角形。 3. 中，AD是高，且BC5DC。求证：。
