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1、学习必备精品知识点第一章实数集与函数 1 实数授课章节： 第一章实数集与函数1 实数教学目的 ：使学生掌握实数的基本性质教学重点 ：(1) 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2) 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式（它们是分析论证的重要工具）教学难点 ：实数集的概念及其应用教学方法 ：讲授（部分内容自学）教学程序 ：引 言上节课中，我们与大家共同探讨了数学分析这门课程的研究对象、主要内容等话题从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容 首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始 问题 为什么从“实数”开始答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里
2、的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课复变函数研究的是定义在复数集上的函数）为此，我们要先了解一下实数的有关性质一、实数及其性质学习必备精品知识点1、实数有理数 : 任何有理数都可以用分数形式q0) 表示，( p, q为整数且 qp也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数 : 用无限十进不循环小数表示.R x | x为实数 - - 全体实数的集合 问题 有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要，我们把“有限小数” （包括整数）也表示为“无限小数”为此作如下规定：对 于 正有限 小 数xa0.a a1 an ,其 中in0整数,，记0 1an 1n1)999
3、9,；0 ai 9, n a 1a ,为非负2, xa ,.a(0a对于正整数 xa0 , 则记 x(a01).9999；对于负有限小数（包括负整数） y ，则先将y 表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号 0 表示为0 0.0000例：2.001 2.0009999 ；32.9999；2.0012.009999；32.9999利用上述规定， 任何实数都可用一个确定的无限小数来表示 在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义 1 给定两个非负实数xa0 .a1an， yb0 .b1bn.其中学习必备精品知识点a0 ,b0 为非负整数， ak,b k(k1, 2,为整数， 0
4、 ak9,0b k9 若有)ak b k , k0,1, 2,，则称 x 与 y 相等，记为 xy ；若 a0b0 或存在非负整数 l ，使得 abk, k0,1,2, labx大于 y 或 y 小于x，k，而 l 1l 1 ，则称分别记为 x y 或 yx 对于负实数 x 、y ，若按上述规定分别有xy或 xy ，则分别称为 xy 与 xy （或 y x ）规定：任何非负实数大于任何负实数2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较） 定义 2（不足近似与过剩近似 ）：xa0.a1an为非负实数， 称有理数 xna0.a1 an 为实数 x 的 n 位不足近似 ； xnxn1n称为实数 x
5、 的 n10位过剩近似 ， n0,1,2,.对于负实数xa0.a1an，其n位不足近似 xna0.a1an1nn10；位过剩近似 xna0 .a1an .注：实数 x 的不足近似 xn增大时不减，即有xx x2； 过n 当01剩近似 xn 当 n 增大时不增，即有x0x1x2命题：记 xa0 .a1an， yb0.b1bn 为两个实数，则 xy 的等价条件是：存在非负整数n，使xnyn （其中 xn 为 x 的 n 位不足近似，yn 为 y 的 n 位过剩近似）命题应用例 1设 x, y 为实数， x y ，证明存在有理数 r ，满足 xry 证明：由 xy ，知：存在非负整数 n，使得 xn
6、yn 令 r1xnyn ，2则 r 为有理数，且x xnr yn y 即 x r y 学习必备精品知识点3、实数常用性质 （详见附录 P289P302 ）1）封闭性 （实数集 R 对 , , ,）四则运算是封闭的即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数2）有序性：a, bR ，关系 ab, ab, ab ，三者必居其一，也只居其一 .3）传递性 ：a， b，cR， 若ab,bc，则 ac 4）阿基米德性 ：a,bR,ba0nN 使得 nab 5）稠密性 ：两个不等的实数之间总有另一个实数6）一一对应关系 ：实数集 R 与数轴上的点有着一一对应关系例 2设a,bR ，证明：若对任何正
7、数，有 ab，则 a（提示：反证法利用“有序性” ，取ab ）b 二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数 a 的绝对值的定义为 | a |a,a0 aa02、几何意义从数轴看，数 a 的绝对值 | a | 就是点 a 到原点的距离 | xa | 表示就是数轴上点 x 与 a 之间的距离3、性质1）| a | |a | 0;| a |0 a 0（非负性）；2） | a |a | a |；3） | a | hh ah ， | a |hh a h.(h 0) ；学习必备精品知识点4）对任何 a,bR 有 | a |b | | ab | | a | b | （三角不等式）；5） | ab | | a
8、| | b |；6） a| a | （ b0 ）b| b |三、几个重要不等式1、 a 2b22 ab ,sin x 1.sin xx .2、均值不等式 : 对a1 , a2 , anR , 记M (aia1a2an1n)nai ,n i 1n1nG(ai )n a1a2 anai,i1H (ai )n11111n 1a1a2ann i 1 ai有平均值不等式 : H ( ai )G(ai )M ( ai ), 即：(算术平均值 )(几何平均值 )nn1.( 调和平均值)i 1 ainn a1a2a1 a2an11ann1a1a2an等号当且仅当 a1 a2an 时成立 .3、Bernoull
9、i不等式 :( 在中学已用数学归纳法证明过 )x1, 有不等式 (1x) n1nx,nN.当 x1且 x0, nN 且 n2 时,有严格不等式 (1x)n1nx.证：由1 x0且1x0,(1x) nn1(1 x)n111n n (1 x) nn (1 x).(1x) n1nx.4、利用二项展开式得到的不等式: 对h0, 由二项展开式学习必备精品知识点(1 h) n1 nhn(n 1) h2n(n 1)( n 2) h3h n ,2!3!有(1 h)n上式右端任何一项 .练习P45课堂小结 ：实数：一 实数及其性质.二 绝对值与不等式 作业 P4 1(1) ，2(2) 、(3) ，3 2 数集和确界原理授课章节： 第一章实数集与函数2 数集和确界原理教学目的 ：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用 .教学重点 ：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点 ：确界的定义及其应用.教学方法 ：讲授为主 .教学程序 ：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果， 此后导入新课 .引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章1实数的相关内容 . 下面，我们先来检验一下学习必备精品知识点自学的效果如何！1 、 证 明 ： 对 任 何 x
