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1、有限单群：一段百年征程1832年的某个清晨，革命中的法国见证了又一次决斗。在某个瞬间，某位青年被对手的枪射中腹部，随后去世。在当时狂热的政治斗争中，只有寥寥数人意识到，法国，甚至世界，又失去了另一个伟大的头脑。这位青年姓伽罗华，他的最大遗产围绕着一个数学概念：群。在接下来的一百多年后，一群在世界各地的数学家，沿着这位青年开辟的路径，对有限群的结构进行了彻底的分析。其中的发现，可能出乎所有人的意料。这是一个关于群的故事，这是一个关于单群的故事。高度抽象的对称交错群A_5的一个Cayley图（一种群的图示）什么是群？一个数学家可能会给你这样的回答：一个群是一个集合G以及在G上的一个运算，满足以下三
2、个条件：1.存在一个G中的元素e，使得对于G中的任意元素x，有x=xe=ex。这样的e叫做群的单位元2.对于G中的任意元素x,y,z，有(xy)z=x(yz)，这是结合律3.对于G中的任意元素x，存在G中的一个元素y，使得e=xy=yx。这样的y被称为x的逆元这样的定义，即使是对一名刚进大学的数学系学生来说也稍显抽象。但数学的力量就在于它的抽象。它什么都不是，所以它什么都是。整数和加法就构成一个群。什么数加上0都不变，所以0是单位元；a+(b+c)=(a+b)+c，这是小学的加法结合律；一个数加上它的相反数是单位元0，所以相反数就是逆元。正实数和乘法也构成一个群，1是它的单位元，乘法有结合律，
3、倒数是逆元。如果我们认为9点+5点相当于9点的5个小时后，也就是2点的话，就连时钟也构成一个群。宝石的晶体构造，电脑的压缩校验算法，以至于魔方的还原，无不牵涉“群”这个概念。而对于自然界的各种对称性，群也是对其最自然的描述方式。难怪有人会说，群就是对称，研究群，就是研究各种对称性。正是由于放弃了与现实的对应，像群这样的抽象数学概念才能在现实中获得广泛的对应。我们研究群，并不关心它的具体元素是什么，是x,y,z还是姬十三、猛犸、桔子都无所谓，只要知道元素通过运算产生的关系就够了，这就是群的全部。只要符合群的公理，能应用到x,y,z上的结论就能应用到姬十三、猛犸、桔子上，这就是抽象的力量。超越时代
4、的孤独伽罗华的画像也正由于这种抽象，群的概念在一开始并没有很快地被接受。伽罗华是在研究一元五次方程的根式解时开始触及群的概念的。对于一元二次方程来说，我们可以将方程的所有解写成有关方程系数的一个根式（允许四则运算和开常数次方运算组成的式子），这称为方程的根式解。对于三次以及四次方程，也有这样的公式，可以直接从方程的系数得到方程的所有解。然而，对于五次以及更高次的方程来说，此前阿贝尔已经证明一般的公式并不存在。伽罗华要解决的，是判断何时存在这样的根式表达。为了解决这个问题，他首次定义了群这种代数结构，仔细地研究了群的各种性质，以及它与更高级的一种代数结构域的关系，并以此发展了一套理论，完整地解决
5、了这个问题。他写下了关于这套理论与高次方程根式解的备忘录，并将其递交到法兰西科学院。他的不幸从此开始。这份备忘录的评审人是柯西。虽然认识到了伽罗华工作的重要性，柯西却没有接受这份备忘录，而是建议伽罗华修改这份备忘录以竞逐科学院的数学奖。伽罗华接受了这个建议，第二次提交了备忘录。天意弄人，评审人傅里叶之后不久就逝世了，伽罗华的备忘录不知所踪。伽罗华决定最后一搏，但这也被泊松驳回，理由是“无法理解”。当消息传到伽罗华耳中时，他早已因为政治斗争而身陷囹圄，此时离他的决斗只有半年时间。没有人理解他的理论，或者说没有人愿意去理解他的理论。就是这套理论，使伽罗华的名声流芳百世。尽管他无法发表他的备忘录，但
6、他此前发表的论文讲述了这个理论的一些基础。泊松的驳回理由，使他更认真地打磨他的理论，以冀数学界的认同。但死神的镰刀没有给他这个时间，上天不打算给他安排生前的荣耀。1832年5月30日，年方二十的伽罗华，迎来了他第一次也是最后一次的决斗。这场决斗的细节已经被时间之砂打磨掩盖，什么对手，什么原因，有人说是为了爱情，有人说对手背后有政治阴谋，众家各执一词。我们只知道，在这场决斗中，伽罗华腹部中枪，不久后魂归天国。“不要哭，阿尔弗雷德！在二十岁死去，我需要我的全部勇气。”这就是他对弟弟说的最后一句话。而决斗前夕给他的朋友Chevalier的信，可以算是他对世界的遗言。信中密密麻麻地写着他的数学理论，他
7、正在思考的问题，他脑中的一切。他大概冀图某天，世界能够通过这封信，理解他。幸而，Chevalier实现了他挚友的意愿。伽罗华的理论，现在以他的名字命名：伽罗华理论。也就是这封信，吹响了一场百年战役的号角。构筑对称的砖块Z/6Z的一个Cayley图，其中可以看出它可分解为两个单群在伽罗华理论，乃至于更广泛的群的理论中，有一个很重要的概念：正规子群。我们以下只讨论那些只有有限个元素的群，它们被称为有限群。例如，魔方操作组成的群就是有限群，因为变化的可能性是有限的。而整数与加法组成的群则不是有限群，因为整数有无限个。在一个群里，有些元素自己会组成一个小圈子。它们并非不与外界交流，但无疑它们喜欢抱团：
8、小圈子内的元素经过运算得到的结果仍然在这个小圈子里，而它们的逆元也在小圈子里。简而言之，这个小圈子对于原来的运算也组成一个群。这样的小圈子，叫做群的子群。有些子群比别的子群更特别，它们不仅自己是一个群，如果“除”原来的群，得到的也是一个群。这样的子群叫做正规子群，而它们对原来的群作“除法”得到的群叫商群。首先观察到并提出正规子群这个概念的，正是伽罗华。通过研究更简单的正规子群和商群，我们可以得到群的很多性质。这就是数学家特别钟爱正规子群的原因。如果我们将正规子群和商群看成群的一种分解的话，那么必定有着不能被继续分解的群，我们将之称为单群。对于任意的有限群，我们可以将其分解成一串单群，而且这样的
9、分解是唯一的。单群在有限群论中的地位，跟素数在数论中的地位，还有原子在化学中的地位一样：它们都是构建它们所在世界的砖块。通过研究这些“砖块”，我们可以知道它们组成的各种结构的性质。如果能列出所有有限单群，就能从一个侧面了解所有离散的对称性的性质。有限单群就是这个故事的主角。与化学家当年寻找新元素的动机一样，数学家也开始了对有限单群的寻找。他们想做的跟化学家做的差不多：列一个单群的“元素周期表”。不过数学家要做的任务多了一项：证明这个“周期表”包含了所有的单群。这看起来不太容易，事实正是如此。转眼百年的长征Higman-Sims图，可导出散在单群Higman-Sims群伽罗华是寻找有限单群当之无
10、愧的第一人。是他首先发现所谓的交错群A_n对于所有n=5都是单群，从而不是可解群。正是从这个结果出发，他证明了高于五次的方程一般而言没有根式解。而数学家此前对数论的研究也容易导出另一族的单群：素数阶的循环群Z_p。它们也是唯一的交换单群，也就是说运算满足交换律（ab=ba）的单群。无需太纠结为何这些群取这样的名字。对于数学家而言，群就像是宠物，给宠物取的名字可能反映了宠物的性格，也可能是纯粹的趣味。但名字毕竟只是名字，只是称呼这些群的一种方式而已。像这样整个家族出现的单群，还有16族所谓的有限李群，它们可以看作离散域上的矩阵组成的群。对它们的系统化研究是由挪威数学家SophusLie开始的，所
11、以后人以此命名。而其中首先被发现的是所谓的射影特殊线性群PSL_n(q)，其中q是一个素数的幂。在伽罗华生命最后的那封信上，就已经提到PSL_2(p)对于大于3的素数p是单群。后来Chevalley对其进行了更深入的研究，将其推广到一般的素数的幂。对于其余的15族有限李群，Chevalley也功不可没。除了这一共18个有限单群家族之外，还有26个单独存在的有限单群。它们不属于任何一个家族，而它们之间也没有一个统一的联系，三三两两各自放浪于数学天地之间。数学家给他们起了个相当适合的名字：散在单群。它们是单群中自成一派的例外。成家族出现的单群结构总是相似的，而散在单群却各有各的美丽。同时进行的则是
12、证明这就是所有的有限单群，这就是所谓的有限单群分类定理。如果将寻找单群比作在森林里抓兔子的话，有限单群分类定理的证明则是确保森林里所有的兔子都被抓光了。这就要求数学家对森林的地形也就是有限群的结构有一定的了解。从某种意义上，整个证明可以追溯到1872年的Sylow定理。这个定理不仅使数学家开始明白有限群更深层的结构，也为后来对各种群的分类讨论提供了武器。而真正明确提出对有限单群分类的，则是1892年的Hlder。他同时也证明了，每一个非交换有限单群的元素个数，是至少四个素数的乘积。从此开始便是百年的征程，对数学家更不利的一面是，出发的时候还不知道森林里有多少兔子要抓。事实上，分类定理的证明和对
13、有限单群的寻找，很大程度上是交错叠积的。有时是证明的途中，忽然找到了又一个新的有限单群；有时是对于已有的单群的研究启发了证明。这也是可以理解的，毕竟这是研究同一件事物的两条路径。所以，当1983年Gorenstein宣称有限单群分类定理被证明之时，群论学界可是欢呼雀跃。整个证明散落在各期刊的500多篇论文之中，合计过万页，每篇论文都对某种特殊情况进行了处理。将这些特殊情况合起来，覆盖了绝大多数的有限群类别，而Gorenstein认为，他的新论文恰好补上了仍未处理的那些有限群，从而完成了整个分类定理的证明。问题是，他弄错了。他以为一类名为“拟薄群”（quasi-thingroup）的类别已经被处
14、理好了，但事实上没有。直到2019年，由Aschbacher和Smith撰写的一篇一千多页的论文才将这个情况完全处理妥当，从而填补了这个漏洞。此时，有限单群分类定理，这个有限群理论的圣杯，才正式被圆满证明。18个有限单群家族，再加上26个散在单群，这就是所有的有限单群。从伽罗华开始历时一个多世纪，跨越两次世界大战的搜索，随着1976年最后一个散在单群被发现，2019年有限单群分类定理的最终证明，这场数学家和有限单群之间的捉迷藏游戏才告结束。这个列表，包含着数代数学家辛勤的汗水，大概还有不少的咖啡、粉笔、墨水和纸。故事仍未结束。在所有有限单群中，那些散在单群特别令人在意。成它们的出现看似无章可循
15、，没有什么必然的规律。但是，尽管有着“散在单群”这个名字，它们并非与世隔绝之徒。最有名的例子，莫过于那个最大的散在单群魔群（MonsterGroup）。意料之外的联系魔群是在1973年被Fischer和Griess分别独立发现的。虽然它是最大的散在单群，但它并不是最后一个被发现的。实际上，“魔群”这个名字就源于它庞大的体积。魔群的准确元素个数是808017424794512875886459904961710757005754368000000000，也就是大概8*1053个。与之相比，太阳系的原子个数也就是大约1057个，仅仅高了两个数量级。如果我们用线性空间和矩阵变换来表示魔群的话，我们至
16、少需要一个196883维的线性空间，才能忠实表达魔群的整体结构。这种表达方式又被称为群的线性表示。也正是由于魔群如此庞大，所以一开始数学家们并没有直接将它构造出来，而只能指出它的存在性。发现魔群的Griess，也要几个月后，才最终把魔群的元素个数计算出来。而魔群的直接构造，要等到9年后的1982年。那年，Griess提出了一个名为Griess代数的代数结构，而魔群恰好就是这个代数结构的自同构群。换句话说，魔群恰好刻画了Griess代数的所有对称性。值得一提的是，Griess代数的维度是196884，比196883多1。如果说每一族单群和每一个散在单群代表一种对称性的话，那么魔群一定有着非同寻常的对称性。体积如此庞大的群，却仍然是一个不可分解的单群，这本来就是个奇迹；而且与那些成系列的量产型单群不同，它的结
