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1、2013北京市海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理科） 2013.5 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合，则A B C D 2.已知数列是公比为的等比数列，且，则的值为A B C或 D或3. 如图，在边长为的正方形内有不规则图形. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为，则图形面积的估计值为A. B. C. D. 4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积
2、为A. B. C. D.5.在四边形中，“，使得”是“四边形为平行四边形”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 A. B. C. D. 7.双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为A. B. C. D.8. 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足， 则下列结论中错误的是A. 若，则可以取3个不
3、同的值 B. 若，则数列是周期为的数列C.且，存在，是周期为的数列D.且，数列是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在极坐标系中，极点到直线的距离为_. 10.已知，则按照从大到小排列为_.11.直线过点且倾斜角为，直线过点且与直线垂直，则直线与直线 的交点坐标为_.12.在中，则 13.正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是_.14.在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线. (I) 给出下列三个结论：曲线关于原点对称；曲线关于直线对称； 曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；其中，所有正确结论的
4、序号是_; ()曲线上的点到原点距离的最小值为_.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数.（）求函数的定义域；() 求函数的单调递增区间.16.（本小题满分13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为，获得50元奖金的概率为.(I) 假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（I
5、I）为了能够筹得资金资助福利事业, 求的取值范围.17. （本小题满分14分）如图1，在直角梯形中，. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点 (I) 求证：平面平面；(II) 求直线与平面所成角的正弦值；(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等？请说明理由.18. （本小题满分13分）已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,记的面积为.（I）当时,求函数的单调区间；（II）当时, 若,使得, 求实数的取值范围.19. （本小题满分14分）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.（I）求
6、椭圆的方程；（II）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求（为原点）面积的最大值.20. （本小题满分13分）123101 设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. () 数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1() 数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值； ()对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“
7、操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由. 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理科）参考答案及评分标准 20135说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案BDCBCABD 9 2 10 11. 12 13 14;二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15（本小题满分13分）解：（I）因为所以 2分所以函数的定义域为 4分 （II）因为 6分 8分又的单调递增区间为 ，令
8、解得 11分又注意到所以的单调递增区间为， 13分16. 解：（I）设至少一张中奖为事件 则 4分 (II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 则可以取 6分 的分布列为 8分所以的期望为 11分 所以当 时，即 12分 所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业13分17.解：（I）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上 所以平面，所以 1分因为在直角梯形中， 所以，所以是等边三角形， 所以是中点， 2分所以 3分同理可证又所以平面 5分（II）在平面内过作的垂线 如图建立空间直角坐标系，则， 6分 因为，设平面的法向量为 因为，所以有，即，令则 所以 8分 10分所以直线与平面所成角的
9、正弦值为 11分(III)存在，事实上记点为即可 12分因为在直角三角形中， 13分 在直角三角形中，点所以点到四个点的距离相等 14分18.解: (I) 因为，其中 2分当，其中当时，所以，所以在上递增， 4分当时，令， 解得，所以在上递增令， 解得，所以在上递减 7分 综上，的单调递增区间为， 的单调递增区间为 （II）因为，其中 当，时，因为，使得，所以在上的最大值一定大于等于，令，得 8分当时，即时对成立，单调递增所以当时，取得最大值 令 ，解得 ，所以 10分 当时，即时对成立，单调递增对成立，单调递减所以当时，取得最大值 令 ，解得所以 12分综上所述， 13分 19.解:(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为 的菱形的四个顶点,所以,椭圆的方程为 4分
