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1、专题 平面直角坐标系中的三角形与四边形江苏省启东中学 张杰 邮箱： 手机：13584664422专题解读 “数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，著名数学家华罗庚先生一语道破数形结合思想在中学数学学习中的重要性，而将几何图形置于坐标系，就是为了用代数的方法研究几何图形的性质，是“数形结合”的大演场，是“几何与代数综合”的新舞台，也是平面解析几何的小雏形，因此受到命题者的青睐，在历年的中考试题中通常作为“较高区分度及选拔功能”题的载体，进行考查，本专题就平面直角坐标系中的三角形与四边形进行必要的解读：一基本题型：1将多边形放置于直角坐标系中，求多边形的顶点坐标，计算边
2、长、面积，判断多边形的形状、相关边之间的位置关系等。2在坐标系中的多边形中引入动点，探究由动点产生的多边形的形状，计算其中的定值、最值。3对坐标系中的多边形实施各种变换，通过平移、轴对称、中心对称（旋转）、位似等探究有关多边形的全等、相似，并计算线段的长度。二基本方法：1求坐标，作垂线。在直角坐标系中，每个点是由有序实数对表示，因此，通过作坐标轴的垂线，构成直角三角形，再利用平面几何的相关性质进行计算，求得点的坐标。2求面积，用割补。对于平面坐标系中的不规则多边形，通过网格化，即过某个顶点作坐标轴的平行线来分割图形，化归为规则图形，再由面积之和或差计算其面积。3求长度，构直角。对于平面直角坐标
3、系中的任两点，通过构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度，即已知两点坐标分别为、，则；也可利用全等形的对应边相等或相似形的对应边成比例计算长度。三基本思想：1数形结合思想：对基本图形进行观察、分析，结合必要的证明与计算，解决问题。2转化与化归思想：将基本图形化归为常见图形，再进行解答。3函数与方程思想：对于动态问题，假设某个变量，以此变量出发，构造适当的函数或方程关系，解决问题。4分类讨论思想：由直角坐标系中的若干个点组成某个基本图形时，或几个基本图形之间全等或相似时，必须进行分类讨论，如等腰三角形的腰底之讨论、平行四边形的邻边之讨论、相似三角形的对应点之讨论等。典型题例析例1(2012江苏
4、苏州)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上若正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，则点A3到x轴的距离是（）A B C D分析：点线之间的距离就是点到直线的垂线段的长度，因此可过点A作x轴的垂线，利用正方形及直角三角形的有关性质求之。解析：作轴于点G，作于H，因正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，故，又由RtOB1C1RtE1C1D1得，同理可得，又可证是正方形，故，从而，故，即点A3到x轴的距离是，所以选D。点评：本题所求点A3到x轴的距离，其
5、实质就是求点A的纵坐标，而求点的坐标，解题步骤大致有两步：首先，选定或构造恰当的直角三角形，通过解相关的直角三角形，求得有关的线段的长。拓展变式：试求点A3的坐标。解析：由原解析可得，故点A3的坐标是。拓展推广：根据题中图形变化规律，则依次放置个正方形，则点A1、A2、必在定直线上。例2（2013年江苏无锡）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为 .分析：本题之四边形的顶点尚未确定，故必须进行分类讨论，分别计算CDCD之长，再通过比较得到最小值。解析：若CD作为平行四边形的一边，则；若CD作为平行四边形的一条对角线，法一：如图所示，因点
6、C在直线上，记平行四边形ACBD的对角线相交于点P，分别过点B、P、A作直线的垂线，垂足为F、H、E，则，又PH是梯形中位线，故而，故当点C与H重合时，PC有最小值，从而CD有最小值，显然，故CD长的最小值为法二：因平行四边形的对角线互相平分，故设点D坐标为，则由AB中点坐标（4，3）得，得，从而，从而当时，CD有最小值，显然，故CD长的最小值为。DCBOFA E x点评：本题除了考查分类讨论思想外，解法一是几何法，考查了数形结合思想，即根据图形判断点C位于H点时，对角线CD取得最小值；解法二是代数法，考查了函数与方程思想，是从高中数学观点下求CD的最小值，应用的知识是线段中点坐标公式及线段长
7、度公式，这可看作是初中知识的拓展与延伸，读者不难理解。拓展变式：试用表示顶点D的坐标。解析：设点D坐标为，当四边形ABCD为平行四边形时，如图所示，作CFy轴于F，作DEx轴于E, 则由RtCBFRtADE得，从而，点D坐标为；当四边形ABDC为平行四边形时，同之法可得点D坐标为；当四边形ABDC为平行四边形时，同之法可得点D坐标为。说明：已知线段的端点坐标分别为、，则其中点坐标为，如利用上述公式，结合“平行四边形的对角线互相平分”这一性质，也可求得上述答案。误点警示：在求点的坐标时，必须考虑点所在的位置，即位于哪个象限，从而确定符号，并根据长度来写出坐标。例3. （2013年江苏常州）在平面
8、直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a0），直线l过动点M（0，m）（0m2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA（1）写出A、C两点的坐标；（2）当0m1时，若PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若HNK满足HN=2HK，则称HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；（3）当1m2时，是否存在实数m，使CDAQ=PQDE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由分析：第（2）题根据“倍边三角形”的定义，得到等
9、量关系，解之即得；第（3）题是将乘积式转化为比例式后，寻找相似三角形，从而再得比例式，即得方程而求解。解析：（1）A（-1，0），C（0，2）；（2）当0m1时，如图所示，由条件得点D点纵坐标为，代入直线AC解析式得D点坐标为（），同时点E纵坐标也为，由PE=CE可知点P与C关于直线l对称，从而点P坐标为，设直线DP解析式为，将点D坐标代入得，解之得，即直线DP解析式为，从而与与x轴交点Q坐标为从而，由PA=2PQ得，因，故（3）当1m2时，如图所示，法一：同（2）可知，P ，Q，当CDAQ=PQDE时，得，因P与C关于直线l对称，且DE/AB，故AQP=PDE=CED，从而AQPEDC，又B
10、ACEDC，从而BACAQP，得，于是，解之得法二：设直线BC解析式为，将点(a,0)代入得，得解析式 从而E（），同（2）可知，欲使CDAQ=PQDE，则，解之得。点评：本题第（2）题属于创新型问题，正确理解“倍边三角形”的定义是解决问题的关键，第（3）题可从几何角度分析，通过化归与转化的数学思想求解，也可直接利用两点间距离公式，从代数角度列得方程而解之。拓展变式：当0m1时，若PAQ是倍边三角形，试求m的值。解析：若PAQ是以P为顶点的倍边三角形，则同原题得；若PAQ是以A为顶点的倍边三角形，则由AP=2AQ得，解之得或，均不合题意；若PAQ是以Q为顶点的倍边三角形，则当QP=2QA时，得，不合题意，当QA=2QP时，得综上所述，或。 从上面的几个例题，我们不难发现，有关直角坐标中的三角形与四边形问题，大多是通过构造直角三角形，利用“坐标计算”来解决问题，另外借助于相似三角形（特别是相似的直角三角形）也是常用的手段。同学们不妨一度，切不可有畏惧情绪呵。
