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1、第十一章计数原理第1讲两个基本计数原理考点梳理1分类加法计数原理完成一件事，有n类办法：在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法【助学微博】两个原理的联系与区别联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事一步到位
2、；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，缺一不可考点自测1“海山联合2012”中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机，若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或1艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有_种解析若中方选出一架飞机，则选法有CCC120(种)；若俄方选出一架飞机，则选法有CCC60(种)故不同选法共有12060180(种)答案1802(2012全国大纲卷改编)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在
3、最后一个演讲，则不同的演讲次序共有_种解析甲先排在其余4个位置上有C种方法，剩余元素则进行全排列，有A种排法，由分步乘法计数原理，得一共有CA480(种)答案4803(2012广州模拟)已知集合A1,2,3,4，B5,6,7，C8,9现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成_个集合解析CCCCCC26(个)答案264(2010湖南卷改编)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为_解析若4个位置的数字
4、都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C，由分类计数原理知满足条件的信息个数为1CC11.答案115.某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有_种解析法一当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2222115(种)法二恰有i个焊点脱落的可能情况为C(i1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况共CCCC15(种)答案15考向一分类加法计数原理【例1】 若集合A1、A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的一种
5、分拆，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，问集合Aa1，a2，a3的不同分拆种数有多少个？解若A1，则A2a1，a2，a3；若A1a1，则A2a2，a3或a1，a2，a3；若A1a2，则A2a1，a3或a1，a2，a3；若A1a3，则A2a1，a2或a1，a2，a3；若A1a1，a2，则A2a3或a1，a3或a2，a3或a1，a2，a3；若A1a1，a3，则A2a2或a1，a2或a2，a3或a1，a2，a3；若A1a2，a3，则A2a1或a1，a2或a1，a3或a1，a2，a3；若A1a1，a2，a3，则A2或a1或a2或a3或a1，a2或a1，a3
6、或a2，a3或a1，a2，a3故不同的分拆种数为13234827.方法总结 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理【训练1】如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个？解把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个)；第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)由分类加法计数原理知，共有32840(个)考向二分步乘法计数原理【例2】如图所示三组平行线分别有m、n、
7、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成mnk个三角形(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成CCCCCC个平行四边形方法总结 此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”【训练2】 由数字1,2,3,4(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可
8、组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字解(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步计数原理共可组成4364(个)3位数(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数43224(个)(3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个考向三涂色问题【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有
9、3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)根据分步计数原理共有5433180(种)涂色方法法二由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A60(种)涂法；又D与B、C相邻，因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有603180(种)涂法方法总结 涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分类时还要进行分类涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理【训练3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法数解法一可分为两大步进行，先将
10、四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607420(种)法二以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四
11、步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种)法三按所用颜色种数分类第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2A种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A种不同的方法由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A2AA420(种)热点突破28两个计数原理的综合应
12、用高考对两个计数原理应用的考查，多以填空题的形式出现，考查蕴含在实际问题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问题转化，分好类与步是关键【示例】 (2012四川卷改编)方程ayb2x2c中的a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_条审题与转化 第一步：以y的系数a的取值为标准进行分类令a依次取值1,2,3，2，3.第二步：在a值确定的情况下，再依次确定c、b2值规范解答 第三步：当a1时，若c0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线；若c0，则c有4种取值，b2有两种，共有248(条)抛物线；当a2时，若c0，b2取1,4,9三
13、种取值，共有3条抛物线；若c0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线共有3223313(条)抛物线同理，a2，3,3时，共有抛物线31339(条)由分类加法计数原理知，共有抛物线39138262(条)反思与回顾 第四步：本题体现了分类讨论思想在计数原理解题中的作用高考经典题组训练1(2012北京卷改编)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_个解析三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇对(1)，个位(3种选
14、择)，十位(2种选择)，百位(2种选择)，共12种；对(2)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(1种选择)，共6种，即12618(个)答案182(2012浙江卷改编)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有_种解析4个数和为偶数，可分为三类四个奇数C，四个偶数C，二奇二偶，CC.共有CCCC66(种)不同取法答案663(2012课标全国卷改编)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有_种解析甲地由1名教师和2名学生：CC12(种)答案124(2011北京卷)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)解析法一数字2只出现一次的四位数有C4(个)；数字2出现两次的四位数有CC6(个)；数字2出现三次的四位数有C4(个)故总
