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1、 数学解题的基本过程陕西师范大学数学系 罗增儒 710062029-85308872 13609297766E-mail：zrluo snnueducn我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程解题过程不仅仅是“书写表达”，它应该包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤，通常有四个基本的阶段（波利亚）：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思科学把握好这四个阶段是一种良好的解题习惯大家对这四个阶段应该都不陌生，但是，能够给学生说清楚、讲明白吗？比如大家都知道解题首先要审题，但是审题“审什么？怎么审？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道解题的关键是思路探求，但是探求“探什么？怎么探？”能够给学生
2、说清楚、讲明白吗？大家都知道解题书写很重要，但是书写“写什么？怎么书？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道学会解题的好途径是反思，但是反思“思什么？怎么思？”能够给学生说清楚、讲明白吗？下面，我们一起来经历解题过程，从做一道最新高考题开始1 数学解题的热身例1 设，若时均有，则_（2012年数学高考浙江卷理科第17题，4分） 先请独立求解，然后分析两个学生的解法，最后交流你们的解法1-1 两个解法请辨析1-1-1 解法呈现 解法1 分为以下两种情况（两式同时非正或同时非正）：（1）当时，由已知，对有，两式相加消去，得，对成立这是不可能的，取就矛盾，即在这种情况下无解（2）当，由已知，对有，
3、两式相加消去，得，对成立这是不可能的，取就矛盾，即在这种情况下无解所以，本题无解（或是一道错题）解法2 对分两种情况讨论（1）当时，由，有，从而 有 ，这时对，及， 有 ，得（2）当时，由，（）得 ，（）但时，故 ，（）取 ，即是方程的解，有 解得 合并得（请大家把想法写下来）1-1-2 解法分析第1、解法1的分析（1）解法1是“会而不对”思路有合理成分，但叫做“会而不对”一个反例便可说明其结论错误（必要性）取，由已知有，得反之（充分性），当时，对有 恒成立所以，本题有解，不是无解、更非错题（2）解法1的错误内容（主要说三点）：错误1：不能推出指由已知“不能推出”（1）、（2）仅当时，才能够由
4、已知推出；仅当时，才能够由已知推出而当时，可以大于0、等于0、小于0（分五种情况，比较麻烦，但可以改写为两种情况，参见代数解法）错误2：构成矛盾无效其实分两种情况讨论的同时，也对作了两种情况的区分对第一种情况有，得 可见，这时取是无效的 对第二种情况有得 ，可见，这时取是无效的 所以，两种情况下构成矛盾都是盲目的、无效的错误3：心理沿袭和监控缺失分两种情况讨论的同时，也把分成与两种情况，其实在解法1有明显的透露：由，可得；由，可得但是解法1对此熟视无睹，两种情况下都依然沿袭，并由此出发去构成无效矛盾，这除有知识盲点、逻辑盲点外，还有视而不见的心理沿袭和反思监控的思维缺失 （3）解法1错误的性质
5、：既有知识性错误，又有逻辑性错误，还有心理性错误，主要是逻辑性错误 第2、解法2的分析（1）解法2是“对而不全” 得出是对的，但过程有问题，叫做“对而不全”（2）解法2的错误内容主要出现在的情况错误1：在时，函数没有最大值，函数没有最小值，分别是上、下确界为（中学没有上、下确界，讲不清楚）错误2：在条件下推出，两者是互相矛盾的（3）解法2的错误性质：错误1是知识性错误，错误2是逻辑性错误 1-1-3 解法交流第一部分、代数解法代数解法1 分5种情况讨论（1）（）（2）（），（3）（），（4）（）（5）（）比较麻烦还可能避不开上下确界代数解法2 分2种情况讨论（1）当时，得矛盾无解（2）当时，得
6、，且对均有所以得代数解法3 更换主元，看成关于的不等式，有（）比较的大小知：当时，有；当时，有（1）当时，解关于的不等式有，得 ，得（2）当时，解关于的不等式有，得 ，得综上的得当时，对均有所以为所求第二部分、数形结合数形结合 1 作出函数，的图像可以发现（如图1）， 图1（1）两函数图像都过定点（2）在的右半平面上，绕定点旋转直线可以看到，满足条件的图形只能是：两函数图像或同在下半平面、或同在上半平面，即两函数图像的另一交点在轴上 对函数，令，得零点，其中；把零点代入，得，解之，取大于1的解，得数形结合2 将看成主元，由原不等式可得，有 图2即直线介于两函数的图像之间( 如图2所示) ，故直
7、线过两图像的交点( 2，3) ，有 ，得 第二部分、小题小解难得不会想简单的（必要性），取，有，得取，有，得反之（充分性），当，时 所以得其实，上面的解法都指向，抓住江湖上人称“一剑封喉”2 解题过程的讲解如上所说，科学把握好“理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思”这四个阶段是一种良好的解题习惯这也是高考解题的基本过程，平时要四步全面抓，别忘了“回顾反思”，考试临场则重在前三步“理解题意、思路探求、书写表达”2-1 理解题意理解题意也叫做“审题”或“弄清问题”，主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、及沟通起点与目标之间联系的更多
8、信息审题审什么？怎么审？我们说，要抓好审题的“三个要点、四个步骤”（1）审什么的“三个要点” 要点1：审清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件就是要把它们都找出来；其次，也是更重要的，是弄清条件的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好了行进中的加油站 要点2：审清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题（还有选择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数学概念有关；
9、而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解”题、探索题（还有填空题等），这时的弄清结论，就是要弄清“求解”（探索）的性质或范围，它们与哪些数学关系、哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导解题方向弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带上了纠正偏差的指南针数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配的、受实践的目的制导的要点3：审清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些联系就表现为题目的结构为了更接近问题的深层结构，审题不仅开始于解题
10、工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与结果的反思应该是循环往复、不断深化的过程 题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示（2）怎么审的“三四个步骤”步骤1：读题弄清字面含义审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读300 400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了一分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法结构、逻辑关系上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个，这是读题最实质性的工作其次要从答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节，比如在考试中，有的题目要求保留小数点几位等等，如果不按这些要求来，解答就会被
11、认为不完整（存在扣分的危险），虽然有的同学并非不会做步骤2：理解弄清数学含义看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语言、符号语言、形象语言之间的转化，从题目的叙述中获取数学“符号信息”，从题目的图形中获取数学“形象信息”，弄清题目的数学含义这当中，我们常常要“回到定义”、激活相关的数学知识，常常要辅以图形或记号，使条件和结论都数学化，并被我们所理解 步骤3：表征识别题目类型信息在大脑的呈现叫做表征弄清条件、弄清结论的同时，条件与结论之间的关系会在头脑呈现，这种呈现不仅会激活相关的数学知识，而且也会调动相关的解题经验对于大量的常规题来说
12、，条件与结论之间的关系结构是记忆储存所现成的每人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有基本模式与经典题型，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取该题型的相应方法即可解决（叫做模式识别）即使是新的“陌生情景”，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标，继而可以用“差异分析”、“数形结合”等措施，进入下一阶段思路探求解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来步骤4：深化接近深层结构简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通，但有时认识是浅层的对于变通过的、“形似而质异”的、或综合性较强的题目，则还要不停顿地“理解题意”因而，“理解题意”的工作在“识别题目类型”之后还结束
13、不了，主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识的过程，即更本质的“理解题意”、努力接近问题的深层结构 经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢”（审题要慢、书写要快）题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示注意：这些要点，叙述时是分解动作，真正解题时是连续进行、一气呵成的思考练习1：请思考下面各题中条件是什么、结论是什么例2 设是定义在
14、上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为 （2012数学高考江苏卷理科第10题，5分）三个条件？（1）设是定义在上且周期为2的函数；（2）在区间上，其中；（3）其实，（2）中有一个（隐含条件），可得解 因为，所以，可得由及，得，可得 也可以联立解出得这里有方程观点例3 设，若直线与圆相切，则的取值范围是（A） （）（C） （D）（2012年高考数学天津卷理科第8题）条件是什么？两个条件？（1）；（2）动直线与定圆相切 相切是文字语言，无法运算、难以推理，要明确其 “数学含义”如圆心到直线的距离等于半径（点到直线距离公式）联立方程得二次方程判别式等于0那么，算条件还是结论？我们算条件：（3）并非所有的都能使直线与定圆相切，题目的意思是，如果“存在”这样的，使直线与定圆相切，那么就把它们加起来求“和”，这个“和”组
