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1、自主学习01 教材内容第四章 中心力场中的粒子知识框架 重点难点 第一节 第二节 第三节 第四节第五节 本章习题 本章自测 知识框架重点难点两体问题化为单体问题，无限深球方势阱，氢原子的求解，以及库仑势,汤川势,谐振子势等其他中心力势的薛定谔求解F-H定理解决问题为重点。氢原子，类氢离子，三维各向同性谐振子势为难点。4.1中心力场中粒子运动的一般性质本节要求本节使学生掌握中心力场中运动的一些共同特点，在这里，角动量守恒起了重要作用。本节的重点与难点重点：两体问题化为单体问题；角动量守恒与径向方程。并列出：库仑势,汤川势,谐振子势难点：径向波函数在邻域的渐近行为。本节教学内容4.1.1两体问题化
2、为单体问题中心力场问题通常是两体问题.设两个粒子的坐标分别为和,质量分别为和,而相互作用仅依赖于两粒子之间的相对距离,则两粒子的能量本征方程可表达为(1)式中为系统的总能量.引入质心坐标和相对坐标为,或 (2)（在此要强调质心坐标以及相对坐标在解决多体问题中广泛应用，二体，三体等）可证明(3)式中为总质量,为约化质量, (4)这样,方程(1)化为(5)此方程显然可分离变量,（即与经典力学一样,可把质心运动与相对运动分开）令(6)分离变量后,得(7a)(7b)式(7a)是一个自由粒子的能量本征方程,它描述质心运动,是质心运动能量.（这一部分与我们研究的体系的内部结构无关,不予考虑.）式(7b)描
3、述两粒子的相对运动部分,是相对运动能量.两粒子相对运动相当于一个质量为的粒子在中心力场中的运动.4.1.2角动量守恒与径向方程（中心力场中,粒子运动的能量、动量和角动量守恒,最重要的特征是角动量守恒.）在经典力学中,粒子角动量守恒是非常明显的.这是因为中心力场是保守力场,所受作用力与势场的关系可表示为(8)从而角动量随时间的变化为(9)其物理含义是,粒子所受到的力矩为零.又,中心力场中经典粒子的运动必为平面运动.运动平面的法线方向即守恒量的方向.在选择合适的参考系后,中心力场中经典粒子的运动即可简化为在一个平面上的运动.在量子力学中,角动量也是守恒量.这是因为角动量算符与哈密顿算符(10)对易
4、,即(11)但与经典力学有一个明显的不同,即守恒量的三个分量彼此不对易,中心力场中粒子的角动量的三个分量一般而言不能同时具有确定值（除角动量为0的态外）,因此,中心力场中粒子的运动在量子力学中不能简化为一个平面运动.（比较经典力学力学量和量子力学和力学量算符的含义和不同,算符贯穿量子力学体系）此外,考虑到存在三个不对易的守恒量,中心力场中粒子的能级一般是简并的。因此,仅考虑能量本征值,还不足以把本征态完全确定下来,而需要寻找另一组守恒量完全集,用它们的共同本征态来标记一个定态.尽管的三个分量彼此不对易,但,而且,通常选用作为守恒量完全集,用它们的共同本征态来对定态进行分类.此时,属于同一能级的
5、诸简并态可以完全标记清楚,它们的正交归一性也自动得到保证.考虑的能量本征方程为(12)中心力场是球对称性,采用球坐标系,以便于将径向部分与角度部分分开处理.在球坐标系中,拉普拉斯算符可表示为(13)能量本征方程化为(14)上式左边第二项称为“离心势能”,角动量愈大,则离心势能愈大.第一项可以表为,称为径向动能,其中(15)是径向动量.如取为的共同本征态,即, (16)则得到径向方程(17)不同的中心力场就决定了不同的径向波函数及能量本征值.径向方程中不含磁量子数m,因此,能量本征值与m无关.这是容易理解的,因为中心场的球对称性,粒子的能量显然与z轴的取向无关.但中心力场中运动的粒子的能量与角量
6、子数有关,在给定下,m有个可能值.因此,一般而言,中心力场中粒子的能级是重简并的.在求解径向方程(17)时,有时作下述替换是方便的.令(18)则(19)求解径向方程(17) 或(19),即可得出粒子能量的本征值E及径向波函数R或约化径向波函数.4.1.3径向方程的解在邻域的行为（中心力场的势的类型多样性:库仑势,汤川势,谐振子势等;注意区别径向方程势能部分）通常遇到的中心力场,如：库仑势,汤川势,线性势,谐振子势,对数势等,都满足条件：(20)当时,径向方程(20) 的渐近形式为(21)显然,是渐近方程(21) 的正则奇点.在点邻域,令,并代入上式,就得所谓指标方程(22)其解为, (23)这
7、样,当时,方程(21) 的两个渐近解为, (24)是物理上不允许的,理应抛弃.按照波函数的统计诠释,在邻域任意体积元中找到粒子的几率应为有限值.令,则当时,必须有3/2.因此,当时,是不许的.对的渐近解,尽管不违反统计诠释的要求,但解(25)并不满足薛定谔方程.这是因为(26)从而(27)与方程(12) 比较,即知不是薛定谔方程的解.由此得出结论：径向方程(17) 的径向波函数当时只能取的渐近解.由此,求解约化径向方程(19) 时要求(28)考察时的约化径向方程(19) 是很有意思的.此时约化径向方程(19) 化为(29)(30)方程(29) 与一维势场中的薛定谔方程相似,但变量变化不同,前者
8、,而后者.因此,把中心力场中的结果外推到一维势场中的运动时要特别注意这一点.4.2无限深球方势阱本节要求本节使学生掌握经典无限深球方势阱的推导，课余进一步了解和比较有限深球方势阱。本节的重点与难点重点及难点：一维定态波函数的求解，注意特殊函数的运用。 本节教学内容考虑粒子在半径为的球形刚性匣子中运动, 这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动, 势场为(1)径向方程为(2)径向波函数满足的边界条件为(3)引入无量纲变量(4)则式(2) 化为(5)令(6)则(7)此为半奇数阶的贝塞尔(Bessel) 方程.（一般介绍贝塞尔(Bessel) 方程，球纽曼(Neumann) 函数，亦可一带而过。） 它
9、的两个线性独立解为与.定义球贝塞尔和球纽曼(Neumann) 函数(8)它们在时的渐近行为是(9)当时, 解是物理上不能接受的. 因此, 在无限深球方势阱内的解应取(10)其中是归一化常数, 或由束缚态边界条件(3) 确定, 即(11)当取有限值时,只能取一系列分立值. 令的根依次记为,则粒子的能量本征值表为(12)特例: 对s态(),利用式(12), 粒子的能量本征值为(13)利用球贝塞尔函数的积分公式及边条件(3), 可求出径向波函数(10) 的归一化常数(14)此时(15)（特例选讲）思考题1.证明的根可由解出.2.证明的根可由解出.4.3氢原子及类氢离子本节要求本节使学生掌握氢原子的薛
10、定谔方程严格求解，一般了解复杂原子及分子结构的基础。本节的重点与难点重点及难点：氢原子的求解，即，库仑势的中心力场求解；类氢离子。1.有关能级的讨论2.有关波函数的讨论3.电流密度与磁矩本节教学内容(具体解出氢原子和类氢离子的薛定谔方程,可得出氢原子和类氢离子的能级与波函数,从而定量地解释其光谱线规律及其它一些重要特征.同时,对氢原子和类氢离子的定量认识也是理解复杂原子及分子结构的基础.)（重点讲解氢原子，让学生掌握氢原子的求解）氢原子和类氢离子的原子核带正电荷+Ze (对氢原子,而对类氢离子) ,而核外只有一个带负电荷的电子.取无穷远处为势能的零点,则原子核与电子之间的库仑作用能为, (1)
11、式中Z为原子序数.氢原子和类氢离子的约化径向方程为(2)式中为折合质量,M和m分别是原子核和电子的质量.令, (3)则方程可简化为(4)显然是方程的两个奇点.我们首先考察其在这两个奇点邻域的行为.首先考虑时的渐近行为.当时,方程(4) 的物理上可接收的渐近解为(5)其次考虑时的渐近行为.对束缚态,当时,方程(4) 化为(6)其解为.考虑到束缚态边界条件,即当时,只能取(7)于是,让方程(4) 的解具有如下形式(8)代入方程(4) ,得(9)(对合流超几何方程做一般性的介绍)这个方程属下列合流超几何方程,即(10)参数(正整数) , (11)方程(10) 在邻域有界的解为合流超几何函数(12)无
12、穷级数解在时行为.这样的解代入式(8) ,不能满足无穷远处的束缚态边界条件.为了得到物理上允许的解,要求无穷级数(12) 必须在有限项中断.从式(12) 可以看出,只要等于0或负整数即可满足这一要求,于是, (13)令,则.将式(3) 代入,得(14)式中称为玻尔半径,称为玻尔第n轨道速度, 称为精细结构常数,它表征电磁相互作用的强度.相应于的径向波函数为(15a)(15b)式中,为归一化常数,它的形式保证(16)在表5.3中列出了属于较低的几个能级的径向波函数.可以看出,径向波函数,除原点和无穷远点外,有个节点数目.氢原子及类氢离子的定态波函数是守恒量完全集的共同本征态,且属于能级的定态波函
13、数表示为(17)1.有关能级的讨论（关于能级的讨论做一般性的介绍）(a) 能级是简并度的.这是因为给定主量子数n,有n个值,而对每一个角量数的值,又有个磁量子数的值.这样,能级对应的波函数的个数,即简并度为(18)能级对磁量子数m简并,即与m无关,其原因是势场为中心力场,它是球对称的,电子的能量与空间取向无关；能级对角量子数简并,即与无关，这是源于库仑场的作用.碱金属中价电子所处的势场也是中心力场,但原子实中其它电子的屏蔽作用,价电子所受力场不是简单的库仑场,尽管它所受力场仍只与r有关,而与取向无关.这时,碱金属电子能级为(19)与有关,从而能级与有关.例如,在中心力场中,.因此,在一般中心力
14、场中,电子的能级是度简并的,仅对库仑场,电子的能级才是n2度简并的. (b) 从式(14) 可见,能级随n的增大而增大,而相邻能级的间距(20)随n的增大而减小.对氢原子(21)基态能级为.当时,能量为,电子可脱离原子核而电离,电离能为.(c) 利用能级公式(14),可解释氢原子和类氢离子的光谱线的规律.（可以在适当介绍物理学家得到氢原子和类氢离子的光谱线的物理背景，使增添趣味性，加深学生对抽象内容的形象化，助于记忆）2有关光谱的讨论电子从高能级向低能级跃迁时,发射出的光线的波数为, (22a)(Rydberg常数) (22b)与光谱规律的里兹并合原则完全一致.所有的到同一低态的跃迁频率组成一个谱系.对氢原子,到m=1的态的跃迁构成Lyman线系,处于紫外光谱区；到m=2的态的跃迁构成对应Balmer线系,处于可见光区,首先被发现；到m=3的态的跃迁构成Paschen线系；到m=4的态的跃迁构成Brackett线系；到m=5的态的
