《2013《二次函数》复习提纲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013《二次函数》复习提纲（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二次函数复习提纲一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()例：（2012泰安）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限考点：二次函数的图象；一次函数的性质。解：抛物线的顶点在第四象限，m0，n0，
2、m0，一次函数的图象经过二、三、四象限，故选C3、二次函数图像的画法（五点法）：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。图像参考： 二、二次函数
3、的解析式（1）二次函数有四种表达形式二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a0），x取任意实数。二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a0，b是常数，b0），x取任意实数。二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a0，c是常数，c0），x取任意实数。二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a0，b是常数，b0，c是常数，c0），x取任意实数。（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。（3）二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）交点式：（a0）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在
4、时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式（a0）。如果没有交点，则不能这样表示。例:（2012泰安）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）ABCD考点：二次函数图象与几何变换。解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：故选A三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考
5、虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。例：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为
6、何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值分析：（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2；最后根据三角形的面积公式可以求得SACG=SA
7、EG+SCEG=（t2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，SACG的最大值为1；（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上解答：解：（1）A（1，4）（1分）由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x1）2+4抛物线过点C（3，0），0=a（31）2+4，解得，a=1，抛物线的解析式为y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3（2分）（2）A（1，4），C（3，0），可求直线AC的解析式为y=2x+6点P（1，4t）（3分）将y=4t代入y=2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+（4分）点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4GE=（4）（4t）=t（5
8、分）又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2，即SACG=SAEG+SCEG=EG+EG（2）=2（t）=（t2）2+1（7分）当t=2时，SACG的最大值为1（8分）（3）t=或t=208（12分）（说明：每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）点评：本题考查了二次函数的综合题其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法四、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增
9、大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上，0时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为x=表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）例1（2012兰州）抛物线y2x21的对称轴是( )分析：已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴解答：解：抛物线y2x21的顶点坐标为(0，1)，对称轴是直线x0(y轴)，故选C例2（2012烟台
10、）已知二次函数y=2（x3）2+1下列说法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线x=3；其图象顶点坐标为（3，1）；当x3时，y随x的增大而减小则其中说法正确的有（ ） A1个B2个C3个D4个考点：二次函数的性质。分析：结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可解答：解：20，图象的开口向上，故本小题错误；图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；当x3时，y随x的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有共1个故选A例3（2012德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x1时，总有y0，当1x3时，总有y0，那么c的取值范围是（） A
11、c=3 B c3 C1c3 D c3考点：二次函数的性质。分析：因为当x1时，总有y0，当1x3时，总有y0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0，有题意可知当x=3时，y=9+3b+c0，所以联立即可求出c的取值范围解答：解：当x1时，总有y0，当1x3时，总有y0，函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0，当1x3时，总有y0，当x=3时，y=9+3b+c0，联立解得：c3，故选B五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根
12、这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物
13、线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：例1（2012杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A2B3C4D5考点：抛物线与x轴的交点。分析：根据抛物线的解析式可得C（0，3），再表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，再根据ABC是等腰三角形分三种情况讨论，求得k的值，即可求出答案解答：解：根据题意，得C（0，3）令y=0，则k（x+1）（x）=0，x=1或x=，设A点的坐标为（1，0），则B（，0），当AC=BC时，OA=OB=1，B点的坐标为（1，0），=1，k=3；当AC=AB时，点B在点A的右面时
