泛函分析课程总结.doc

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1、 泛函分析课程总结数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26一知识总结第七章 度量空间和赋范线性空间1. 度量空间的定义：设是一个集合，若对于中任意两个元素，都有唯一确定的实数与之相对应，而且满足则称为上的一个度量函数，（）为度量空间，为两点间的度量。2. 度量空间的例子离散的度量空间设是任意的非空集合，对中任意两点,令序列空间S令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点，令有界函数空间B（A） 设A是一给定的集合，令B（A）表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B（A）中任意两点，定义可测函数空间m(X)设m(X)为X上实值（或复值）的L可测函数全体，m

2、为L测度，若，对任意两个可测函数，令空间令表示闭区间上实值（或复值）连续函数的全体，对中任意两点，定义空间记，设，定义注：度量空间中距离的定义是关键。3.度量空间中的极限，稠密集，可分空间3.1收敛点列和极限 定义： 设是中的点列，如果存在,使，则称点列是中的收敛点列，是点列的极限。注：1.度量空间中的收敛点列的极限是唯一的。2.各个度量空间中各种极限概念不完全一致（依坐标收敛，一致收敛。依测度收敛等）3.2度量空间中稠密子集和可分度量空间定义：设是度量空间，和是中两个自己，令表示的闭包，如果,那么称在集中稠密，当= 时称是的一个稠密子集。如果由一个可数的稠密子集，则称是可分空间。注：1.若A

3、在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密。2. 欧氏空间Rn、空间Ca,b、空间是可分的。3. 不可分。4.完备度量空间 4.1 柯西点列 定义：设是度量空间，是中的点列，如果对任意给定的正数，存在正整数,使当n,mN时，必有则称是中的柯西点列。那么称是完备的度量空间。4.2 完备度量空间的例子 是完备度量空间 C是完备度量空间是完备度量空间4.3定理的证明 定理：完备度量空间的子空间是完备空间的充要条件为是中的闭子空间。证明：设是完备子空间，对每个，存在中点列，使，由前述，是中的柯西点列，所以在中收敛，有极限的唯一性可知，即,，所以，因此是中的闭子空间。5.度量空间的完备化 5.1等距同构映

4、射 定义：设，是两个度量空间，如果存在到上的保距映射T，即，则称和等距同构，T称为到上的等距同构映射。5.2 度量空间的完备化定理 定理：设是度量空间，那么一定都一定存在一个完备空间，使与的某个稠密子空间等距同构。并且在等距同构的意义下时唯一的，即也是一完备度量空间，且与的某个稠密子空间等距同构，则与等距同构。注：任一度量空间都存在唯一的完备度量空间，使为的稠密子空间。6.压缩映射 6.1压缩映射 定义：设是度量空间，T是到中的映射，如果存在一个数，使得对所有的， （1）则称T是压缩映射6.2压缩映射定理定理：设是完备的度量空间，T是上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程，有且只

5、有一个解）。证明：设是中任意一点，令，。我们证明点列是中柯西点列，事实上， （2）由三点不等式，当nm时，因，所以，于是得到 （nm） (3)所以当时，即是中柯西点列，由完备，存在，使，又由三点不等式和条件（1），我们有上面不等式右端当时趋于0，所以即 下证唯一性。如果又有使,则由条件（1），因，所以必有，即。注： 1. 是完备的度量空间 2.T是压缩映射3.压缩定理可以推导出隐函数存在定理 4.压缩映射原理可以证明常微分方程解得存在性和唯一性定理 7.赋范线性空间和巴拿赫空间7.1赋范线性空间定义：设是实（或复）的线性空间，如果对每个向量，有一个确定的实数，记为与之对应，并满足 则称为向量的

6、范数，称按范数成为赋范线性空间。设是中点列，如果存在，使，则称依范数收敛于，记为。如果令 即依范数收敛于等价于按距离收敛于，称为由范数导出的距离。注：完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间7.2几种常见的巴拿赫空间欧式空间 对每一个，定义范数 （1）又因完备，是中范数。故按（1）式中范数成为巴拿赫空间。空间 对每一个，定义 （2）按（2）式中的范数成为巴拿赫空间。空间对每一个，定义 （3）按（3）式中的范数成为巴拿赫空间。空间 对于每个，定义 （4） 按（4）式中的范数成为巴拿赫空间。空间对每一个，定义 （5）按（5）式中的范数成为巴拿赫空间。7.3两个重要的不等式和两条定理(1)霍尔德不等式 设，

7、那么在上可积，并且（2）闵可夫斯基不等式设，那么，并且成立不等式 定理1：当时，按（4）式中范数成为赋范线性空间。定理2： 是巴拿赫空间7.4 有限维赋范线性空间的性质定理3：设是n维赋范线性空间，是的一组基，则存在常数和，使得对一切 ，有推论1：设在有限维线性空间上定义了两个范数和，那么必存在常数和，使得拓扑同构的定义：设和是两个赋范线性空间。如果存在从到上的线性映射和正数，使得对一切，有则称和是两个赋范线性空间是拓扑同构推论2：任何有限维赋范空间都和同维数欧式空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构。8.度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的区别与联系赋范线性空间一定是度量空间，反

8、之不一定成立。度量空间按照加法和数乘运算成为线性空间，而且度量空间中的距离如果是由范数导出的，那么这个度量空间就是赋范线性空间。 赋范线性空间与巴拿赫空间的联系与区别：完备的赋范线性空间是巴拿赫空间。巴拿赫空间一定是赋范线性空间，反之不一定成立。巴拿赫空间一定是度量空间，反之不一定成立。巴拿赫空间满足度量空间的所有性质。巴拿赫空间由范数导出距离，而且满足加法和数乘的封闭性。满足完备性，则要求每个柯西点列都在空间中收敛。度量空间中距离要满足三个性质：非负线性、对称性、三点不等式，因此距离的定义是重点。赋范线性空间中范数要满足：非负性、线性性、三角不等式，距离定义为且范数的定义是关键。第八章 有界

9、线性算子和连续线性泛函1. 线性算子和线性泛函 1.1线性算子和线性泛函定义 设和是两个同为实（或复）的线性空间，是的线性子空间，T为到中的映射，如果对任意的及数，有 （1） （2）则称T为到中的线性算子，其中称为T的定义域，记为，称为T的值域，记为。当值域取实数（或复数）域时，T为实（或复）线性泛函。注：1. ，2.泛函是一种特殊的算子 3.当（2）中=0，即，即，其中表示算子T的零空间。1.2线性算子和线性泛函的例子相似算子设是线性空间，是一给定的数，对任意，令，显然T是到中的线性算子。恒等算子设是线性空间，对任意，令 ，则。恒等算子记为或零算子设是线性空间，对任意，令，则。零算子记为微分

10、算子设为区间上多项式全体，对每个，定义由求导运算的线性性质，可知T是到中的线性算子注： 如果任取，对任意的，定义则是上的线性泛函积分算子对每一个，定义由积分运算的线性性质，可知T是到中的线性算子注： 若令，则是上的线性泛函。乘法算子对每一个，定义易知T是线性算子。注：1.线性算子与有限维空间中的方阵相对应。2.线性泛函与有限维空间中的向量（数组）相对应1.3有界线性算子定义：设和是两个赋范线性空间，T是的线性子空间到中的线性算子，如果存在常数，是对所有的，有 （3）则称T是到中的有界线性算子。 1.4算子的范数定义：T为赋范线性空间的子空间到赋范线性空间中的线性算子，称 为算子T在上的范数。注

11、： 1. 2. 3. 2.连续映射定义 2.1 设X=（X，d），是两个度量空间，T是X到Y的一个映射。如果对任何，存在当时，有,则称T在连续。又若T在X中每一点都有连续，则称T是X上的连续映射。若对任何，存在，只要，且，就有成立，则称T在上一致连续。 定理 2.1 设，是度量空间，,则下列各命题等价。 (1)T在连续；（2）对于X中的任意点列xn，若，则。定理 2.2 设，是度量空间，。则T是连续映射的充分必要条件是，对Y中的任一开集，其原象是开集。3.线性算子和线性泛函的定理定理1：设T为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则T为有界算子T是上的连续算子。证明：若T有界，由（3）式，当

12、时，因为所以，即，因此T连续。 反之，若T在上连续，但T无界，这是在中必有一列向量，使，但。令，n=1,2,则，所以，由T的连续性，得到，但由于T是线性算子，又可以得到对一切正整数n，有这与矛盾。所以T是有界算子。定理2.设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么是上连续泛函的零空间是中的闭子空间。证明：设是连续线性泛函，当，年，2，并且时，由的连续性，由，因此，所以是闭集。 反之，若是闭集，而无界，则在中存在一列向量，n=1,2,使得对每个n，有，令，则，且，作，那么，因此，然而由于，所以，但，即，这与是闭集的条件矛盾。因此是线性有界的。注：1.设T是上的有界线性算子，那么。2.有界算子和有界算子

13、的复合还是有界的。4.有界线性算子的范数相似算子的范数恒等算子范数零算子范数5.无界算子例子：微分算子，若视为的子空间，令，则，但，所以，即T是无界算子。6.有界算子全体所成空间定理1.当是巴拿赫空间时，也是巴拿赫空间。注：定义向量的乘积， 则称是赋范代数，当完备时，称为巴拿赫代数。共轭空间定义1：设是赋范线性空间，令表示上连续线性泛函全体所成的空间，称为的共轭空间。 注：1. 的共轭空间为，即。1. 但个共轭空间不是。2. 的共轭空间为，其中。定理2.任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。7.赋范线性空间同构定义：设和是两个赋范线性空间，T是到中的线性算子，并且对所有，有，则称T是到中的保

14、距算子。如果T又是映射到上的，则称T是同构映射，此时与同构。8.有界线性算子、连续线性泛函、连续映射的区别与联系 有界线性算子T是赋范线性空间到赋范线性空间即T是上的连续算子。如果赋范线性空间是实（或复）数域，则即T是上的连续泛函。 算子是映射的一种，则连续算子要满足是连续的映射。泛函是一种特殊的算子，即算子的值域为实（或复）数域。所以连续线性泛函也要满足是连续映射。二、知识的应用压缩映射原理的可以： 1.证明隐函数存在定理 2.判断微分方程和积分方程解存在性和唯一性 3.求一些数列的极限 4.求方程的近似解 5.验证方程有实根 6.代数方程组由唯一解 7.讨论解的连续性巴拿赫空间的应用：数学分析中关于巴拿赫空间函数的凹凸性、光滑性、可微性。