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1、圆锥曲线综合问题详细解析版圆锥曲线的综合问题（一） / 最新考纲1. 掌握解决直线与椭圆、抛物线的地址关系的思想方法；应用； 3. 理解数形结合的思想.2. 认识圆锥曲线的简单1. 直线与圆锥曲线的地址关系判断直线l与圆锥曲线C的地址关系时， 平时将直线l的方程 0(， 不同样时为AxBy CAB0) 代入圆锥曲线C 的方程F( x， y) 0，消去 y( 也可以消去x) 获取一个关于变量x( 或变量y) 的一元方程，即 Ax By C 0，消去 y，得 ax2 bx c 0. F（ x， y） 0(1) 当 a 0 时，设一元二次方程ax2 bx c 0 的鉴识式为，则 0? 直线与圆锥曲线
2、C订交； 0? 直线与圆锥曲线 C相切； 0? 直线与圆锥曲线 C相离 .(2) 当 a 0，b 0 时，即获取一个一次方程， 则直线 l 与圆锥曲线 C订交，且只有一个交点，此时， 若 C为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的地址关系是平行；若 C为抛物线， 则直线 l 与抛物线的对称轴的地址关系是平行或重合.2. 圆锥曲线的弦长设斜率为 k( k 0) 的直线 l 与圆锥曲线C订交于 A， B 两点， A( x1， y1) ，B( x2， y2) ，则2| AB| 1k | x1 x2| 1 k2 （ x1x2） 2 4x1x2112 | y1 y2| 112 （ y1y2） 2 4y1y
3、2.kk例题精讲（考点分析）考点一直线与圆锥曲线的地址关系x2y2【例 1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1 ：a2 b2 1( ab 0) 的左焦点为 F1 ( 1，0) ，且点(0 ，1) 在C上 .P1(1) 求椭圆 C1 的方程；(2) 设直线l同时与椭圆1 和抛物线2：y2 4相切，求直线l的方程 .CCx解(1) 椭圆 C 的左焦点为 F ( 1，0) ， c 1，11又点 P(0 ，1) 在曲线C1 上，01222 a2 b2 1，得 b1，则 a b c 2，所以椭圆1 的方程为x22 1.C2y(2) 由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykx
4、 ，mx22由 2 y 1，消去y，得(122) 24 22 2 0.kxkmxmy kx m由于直线l与椭圆1 相切，C所以12222 0.16km 4(1 2k )(2m 2)22整理得 2k m1 0. y2 4x，222由消去 y，得 k x (2 km 4) x m 0.y kx m由于直线l与抛物线2 相切，C所以2222(2 km 4) 4km 0，整理得 km 1. 22综合，解得k 2 ， 或k2 ，m 2m2.22所以直线 l 的方程为 y 2x2或 y 2 x 2.规律方法研究直线与圆锥曲线的地址关系时，一般转变成研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，
5、应注意谈论含x2 项的系数可否为零的情况，以及鉴识式的应用 . 但关于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练 1】 在平面直角坐标系xOy中，点 M到点 F(1 ， 0) 的距离比它到y 轴的距离多1. 记点 M的轨迹为 C.(1) 求轨迹 C的方程；(2) 设斜率为k 的直线 l 过定点 P( 2，1) ，若直线 l 与轨迹 C恰好有一个公共点，求实数 k的取值范围 .解 (1) 设点 M( x， y) ，依题意 | MF| | x| 1，（ x 1） 2 y2 | x| 1，化简得y2 2(| x| x) ，故轨迹 C的方程为 y24x（ x 0），0（ x0） .(
6、2) 在点 M的轨迹 C中，记 C1： y2 4x( x 0) ； C2： y0( x 0).依题意，可设直线l 的方程为y 1 k( x 2).y 1 k（ x 2），由方程组y2 4x，可得 ky2 4y 4(2 k 1) 0. 当 k 0 时，此时 y 1.把 y 11代入轨迹 C的方程，得 x .4故此时直线 l ： y 1 与轨迹 C恰好有一个公共点1， 1 .4当 k 0 时，方程的 16(2 k2 k 1) 16(2 k 1)( k 1) ，设直线 l 与 x 轴的交点为 ( x0， 0) ，则由 y 1 k( x 2) ，令 y 0，得 x02k 1. k 0，1( ) 若 x
7、00， 由解得 k1，或 k2.1所以当 k 1 或 k 2时，直线 l 与曲线 C1 没有公共点， 与曲线 C2 有一个公共点， 故此时直线 l 与轨迹 C恰好有一个公共点.2k2 k 1 0， 0，()若即 2k 1解集为 ?.x00，k0，1综上可知，当k 1 或 k 2或 k 0 时，直线 l 与轨迹 C恰好有一个公共点 .考点二弦长问题x2y2【例2】(2016四川卷) 已知椭圆E： a2 b2 1( ab0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个极点，直线l ：y x3 与椭圆E 有且只有一个公共点T.(1) 求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；(2) 设 O是坐标原点，直线 l 平行于 OT，与椭圆E交于不同样的两点A， B，且与直线 l 交于点 P. 证明：存在常数 ，使得 | PT|2 | PA| |PB| ，并求 的值 .2b，则椭圆 E的方程为 x22(1) 解 由已知， a2 y2 1.2bbx2y2
