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1、6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.2.基底：若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.()提示只有不共线的两个向量才可以作为基底.2.0，e可以作为基
2、底.()提示由于0和任意向量共线，故0，e不可作为基底.3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.()提示基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.4.若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量.()一、平面向量基本定理的理解例1(多选)设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是()A.e1e2和e1e2 B.3e14e2和6e18e2C.e12e2和2e1e2 D.e1和e1e2答案ACD解析选项B中，6e18e22(3e14e2)，6e18e2与3e14e2共线，不能作为基底，选项A，C，D中两向量
3、均不共线，可以作为基底.反思感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1已知向量a，b是一个基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy_.答案3解析因为a，b是一个基底，所以a与b不共线，由平面向量基本定理得所以所以xy3.二、用基底表示向量例2如图，已知在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a，b，试用a，b为基底表示，.解因为DCAB，AB2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以a，b.babba.延伸探究1.本例中若取BC的
4、中点G，则_.答案ab解析babab，所以babab.2.本例中若EF的中点为H，试表示出.解，因为ba，所以babab.反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量.跟踪训练2如图，在正方形ABCD中，设a，b，c，则以a，b为基底时，可表示为_，以a，c为基底时，可表示为_.答案ab2ac解析以a，b为基底时，ab；以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则
5、即得2ac.1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面其它向量基底的是()A. B. C. D.答案B解析易知与不共线，与不共线.2.如果e1，e2是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是()A.若存在实数1，2使1e12e20，则120B.对空间任意向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC.1e12e2(1，2R)不一定在平面内D.对于平面内任意向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对答案A解析B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意向量；C错，在平面内任意向量都可表示为1e12e2的形式，故1e12e2一
6、定在平面内；D错，这样的1，2是唯一的，而不是无数对.3.给出下列三种说法：一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量.其中，说法正确的为()A. B. C. D.答案B4.在ABC中，若()，则下列关系式正确的是()A.BD2CD B.BDCDC.BD3CD D.CD2BD答案B解析由()得2，即，即，BDCD.5.如图，ABCD的对角线AC和BD交于点M，a，b，试用基底a，b表示，.解ab，ba，因为平行四边形的对角线互相平分，所以ab.ab，ba，所以ab.1.知识清单：(1)
7、平面向量基本定理.(2)基底.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.1.如图所示，用向量e1，e2表示向量ab为()A.4e12e2 B.2e14e2C.e13e2 D.3e1e2答案C2.如图所示，在矩形ABCD中，5e1，3e2，则等于()A.(5e13e2)B.(5e13e2)C.(3e25e1)D.(5e23e1)答案A解析()()(5e13e2).3.如图，在ABC中，若，则等于()A. B. C.3 D.答案A解析由题意可得，据此可知，.4.设a，b为基底，已知向量akb，2ab，3ab，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A.2 B.
8、2 C.10 D.10答案A解析(akb)(2ab)(3ab)2a(k2)b，A，B，D三点共线，即akb2a(k2)b2a(k2)b，a，b为基底，解得，k2.5.(多选)若e1，e2是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是()A.e1e2，e2e1 B.2e1e2，e1e2C.2e23e1，6e14e2 D.e1e2，e13e2答案ABC解析选项A中，两个向量为相反向量，即e1e2(e2e1)，则e1e2，e2e1为共线向量；选项B中，2e1e22，也为共线向量；选项C中，6e14e22(2e23e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.6.已知
9、e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为平面内的一个基底，则实数的取值范围为_.答案(，4)(4，)解析若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线.ae12e2，b2e1e2，由akb，即得4.7.已知10，20，e1，e2是一个基底，且a1e12e2，则a与e1_，a与e2_.(填“共线”或“不共线”)答案不共线不共线8.已知向量a在基底e1，e2下可以表示为a2e13e2，若a在基底e1e2，e1e2下可表示为a(e1e2)(e1e2)，则_，_.答案解析由条件可知解得9.已知G为ABC的重心，设a，b.试用a，b表示向量.解连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中
10、点，()ab.10.在ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以e1，e2表示.解e1e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以(e1e2)，所以e2(e1e2)e1e2.11.若1a，2b，2(1)，则等于()A.ab B.a(1)bC.ab D.ab答案D解析，1(2)，(1)12，12ab.12.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足，则点P一定为()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.ABC的重心D.AB边的中点答案B解析O是ABC的重心，0，点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心).13.已知ae1e2，b2
11、e1e2，c2e14e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c_.(用a，b表示)答案2a2b解析设cab，则2e14e2(e1e2)(2e1e2)(2)e1()e2，因为e1，e2不共线，所以解得故c2a2b.14.如图，在MAB中，C是边AB上的一点，且AC5CB，设a，b，则_.(用a，b表示)答案ab解析()ab.15.已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线.(1)在OAB中，若点P在AB上，且2，若rs，求rs的值；(2)点P满足m(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值.解(1)2，()，又rs，r，s，rs0.(2)四边形OABP为平行四边形，又m，m，依题意，是非零向量且不共线，m1.16.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2.若(，R)，求的值.解如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，则存在，使，即.在RtOCM中，|2，COM30，OCM90，|4，4，又|2，2，42，即4，2，6.
