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1、动点轨迹问题一.专项内容：求动点的轨迹方程实质上是建立动点的坐标之间的关系式,一方面要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，谋求合适关系建立等式,常用措施有: （)等量关系法:根据题意,列出限制动点的条件等式,这种求轨迹的措施叫做等量关系法，运用这种措施时,规定对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉(2)定义法:如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线)的定义,可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程. （3）转移代入法：如果所求轨迹上的点是随另一种在已知曲线：上的动点的变化而变化，且能用表达,即，则将代入已知曲线，化简后即为所求的轨迹方程
2、（4）参数法:选用合适的参数(如直线斜率等），分别求出动点坐标与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程,消去参数即可 （5)交轨法：即求两动直线交点的轨迹，可选用同一种参数，建立两动直线的方程,然后消去参数，即可(有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）. 注意：轨迹的完备性和纯正性！一定要检查特殊点和线!二.有关试题训练（一)选择、填空题1( ）已知、是定点,动点满足，则动点的轨迹是 （A)椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段2( ）设，,的周长为3，则的顶点的轨迹方程是（A)（) （）（）（）（) (）（）3.与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ;4P在以、为焦点的双曲线上运动,则的
3、重心的轨迹方程是 ;.已知圆：内一点,圆上一动点, AQ的垂直平分线交CQ于P点，则点的轨迹方程为 6ABC的顶点为、，ABC的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是 ;（）变式:若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广:若点为椭圆上任一点,、分别是左、右焦点,圆与线段的延长线、线段及轴分别相切,则圆心的轨迹是 ；7.已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则点的轨迹方程是 8抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是 ()9.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点,当此直线绕焦点旋转时，弦中点的轨迹方程为 .解法分析:解法1 当直线的斜率存在时
4、,设P所在直线方程为与抛物线方程联立,消去得设，,中点为，则有 消得. 当直线的斜率不存在时,易得弦的中点为,也满足所求方程.故所求轨迹方程为.解法2设,，由 得,设中点为,当时,有,又，因此,，即.当时,易得弦的中点为,也满足所求方程.故所求轨迹方程为.10.过定点作直线交抛物线于A、两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_（二)解答题1.一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程.（定义法）2.过椭圆的左顶点作任意弦并延长到,使,为椭圆另一顶点，连结交于点,求动点的轨迹方程.（直接法、定义法;突出转化思想）3.已知、是椭圆的长轴端点,、是椭圆上有关长轴对称的
5、两点，求直线和的交点的轨迹(交轨法)4已知点G是BC的重心，,在轴上有一点M，满足，(1)求点C的轨迹方程；()若斜率为的直线与点的轨迹交于不同两点、Q，且满足，试求的取值范畴解:(1）设,则由重心坐标公式可得.,点在轴上，. ，,即 .故点的轨迹方程为()（直接法）(2）设直线的方程为（）,、，的中点为由消，得. ,即. 又,， . ， , ,即 , ，又由式可得 ， 且. 且，解得且.故的取值范畴是且5已知平面上两定点、，为一动点,满足（)求动点的轨迹的方程;(直接法)（）若A、B是轨迹上的两动点，且过A、两点分别作轨迹的切线，设其交点为，证明为定值.解：()设.由已知，.,分,.整顿,得
6、 即动点的轨迹为抛物线,其方程为.6已知O为坐标原点,点、，动点、满足(),，求点的轨迹的方程. 解:,， 垂直平分AF又， 点M在AE上, ,， ， 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆,且半长轴,半焦距，. 点的轨迹W的方程为（）7设,为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量， 且（1）求点的轨迹的方程；(定义法)（2）过点作直线与曲线交于、两点，设,与否存在这样的直线，使得四边形是矩形?若存在,求出直线的方程,若不存在,试阐明理由解:（1);(2）由于过轴上的点.若直线是轴,则两点是椭圆的顶点，因此与 重叠，与四边形是矩形矛盾.故直线的斜率存在，设方程为,.由 消得此时恒成立，且，,，因
7、此四边形是平行四边形若存在直线，使得四边形是矩形，则,即.， .即 ,得故存在直线：,使得四边形是矩形.8.如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足:=2,且于G,点Q是直线上一动点,点M满足:,点P满足:，.(）建立合适的直角坐标系,求动点P的轨迹方程;（II）若通过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B，令，当时,求直线的斜率的取值范畴解：(1)以的中点为原点,以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设点，则,，.，,，, ，即所求点的轨迹方程为()设点设AF的斜率为,B的斜率为,直线的方程为 由6分7分 8分1分由于11分 解得1分直线斜率的取值范畴是.如图所示,已知定点,动点
8、在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且,（1）求动点的轨迹方程;（2)直线与动点的轨迹交于、两点,若,且，求直线的斜率的取值范畴.解：（)设，由得，,又,，即动点的轨迹方程为(）10.已知点，点在轴上，点在轴上，为动点，满足,（1)求点轨迹的方程;(）将（）中轨迹按向量平移后得曲线，设是上任一点，过作圆的两条切线,分别交轴与、两点，求的取值范畴.解:(1)设、,则、.由题意得 ,故动点的轨迹方程为.（)11如图和两点分别在射线、上移动,且，为坐标原点，动点满足.（1）求的值； （2)求点的轨迹的方程，并阐明它表达如何的曲线？(3）若直线l过点交（2)中曲线于、两点，且,求的方程解:（1）由
9、已知得, (2)设P点坐标为（）,由得 ， 消去,可得，又因， P点的轨迹方程为.它表达以坐标原点为中心,焦点在轴上，且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支（3)设直线的方程为,将其代入C的方程得 即 ,易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意) 又，设，则 l与的两个交点在轴的右侧 ， ,即,又由同理可得， 由得 ， 由得， 由得，消去得 考虑几何求法!解之得： ,满足.故所求直线l存在,其方程为:或.12.设A,B分别是直线和上的两个动点,并且，动点P满足.记动点的轨迹为C.（I）求轨迹的方程;(II)若点D的坐标为（0,6),M、N是曲线C上的两个动点，且,求实数的取值范畴解
10、：(I)设，由于A、B分别为直线和上的点，故可设 ,， 又, . . 即曲线C的方程为.(II) 设N(s,t),M（x,y),则由,可得（x,y-16)=(s，-16). 故，. 、N在曲线C上, 消去s得 由题意知,且，解得 . 又 , . 解得 （). 故实数的取值范畴是（）.1设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2.（1)求此双曲线的渐近线、的方程;(）(2)若A、分别为、上的动点,且,求线段AB的中点的轨迹方程，并阐明是什么曲线()提示：,又，则，.又 ,代入距离公式即可(3)过点与否存在直线，使与双曲线交于、两点，且,若存在,求出直线的方程；若不存在，阐明理由（不存在)4.已知点，
11、直线,设动点到直线的距离为,已知,且 （1）求动点P的轨迹方程;(2）若，求向量与的夹角;（3）如图所示,若点G满足，点M满足,且线段MG的垂直平分线通过点P，求P的面积.15如图,直线与椭圆（）交于A、B两点，以A、B为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点）.（1）若,且四边形OAPB为矩形，求的值;（)(2）若,当变化时（），求点P的轨迹方程(）16双曲线C：(，）的离心率为2，其中，且（1)求双曲线C的方程;(2）若双曲线C上存在有关直线:对称的点，求实数的取值范畴.解：(I)依题意有: 解得： 所求双曲线的方程为6分（）当0时,显然不存在7分当k0时,设双曲线上两点、N有关直线l对称
12、由lMN,直线N的方程为则M、两点的坐标满足方程组由 消去y得9分显然，即 设线段N中点(）则D（）在直线l上,即 把带入中得 ，解得或.或.即或,且k0.的取值范畴是4分7已知向量=(2，0），=(0，),动点到定直线y =的距离等于d,并且满足=K(-d2),其中为坐标原点,为参数（）求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型；()如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率e满足，求实数K的取值范畴.18过抛物线的焦点作两条弦、,若,（1）求证:直线过定点；（2）记（1)中的定点为,求证为钝角；（3）分别以、为直径作圆,两圆公共弦的中点为，求的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线.1.（江西）如图,是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且(1)若为定点,证明:直线的斜率为定值;（2）若为动点,且，求的重心的轨迹.思路分析：(1)由直线（或）方程与抛物线方程构成的方程组解出点F和
