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1、对数函数及其性质1.对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数 函数的定义域是(0 , +8 ) .y=logax(a0,且aw1)叫做对数函数，其中x是自变量,对数函数的特征:logaX的系数：1特征logaX的底数：常数，且是不等于1的正实数logaX的真数：仅是自变量X判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征.比如函数y=log7X是对数函数，而函数y=-3log4X和y=logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点.【例11】函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数，则实数a=.解析：由a2-a+1=1,解得a=0,1.又a+
2、10,且a+1w1,a=1.答案：1【例12】下列函数中是对数函数的为.(1)y=loga0,且aw1)；(2)y=log2X+2；(3)y=8log2(x+1)；(4)y=logx6(x0,且xw1)；(5)y=log6X.解析：序号是否理由(1)X真数是7x,不是自变量X(2)X对数式后加2(3)X真数为x+1,不是X,且系数为8,不是1(4)X底数是自变量X,不是常数(5)V底数是6,真数是x2.对数函数y=logaX(a0,且a*1)的图象与性质(1)图象与性质a10a0(2)值域y|yR(3)当x=1时，y=0,即过定点(1,0)(4)当x1时，y0；当0vxv1时，y1时，yv0；
3、当0x0(5)在(0,+8)上是增函数(5)在(0,+8)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数.a1时，函数单调递增；0a0,且aw1)y=logax(a0,且aw1)性质定义域R(0,+)值域(0,+00)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数底数a对对数函数的图象的影响底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1时，对数函数的图象“上升；当0a1还是0a1,在第一象限内，自431.【例2】如图所示的曲线是对数函数y=logax的图象.已知a从y3,-,中取值
4、,3510则相应曲线G,C,G,C4的a值依次为()3535C4的底数G的底数G的底数C的431.C.0,且aw1)与对数函数y=logax(a0,且aw1)互为反函数.(2)互为反函数的两个函数之间的关系原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：由y=f(x)解出x,即用y表示出x；把X替换为y,y替换为x；根据y=f(x)的值域，写出其反函数的定义域.【例31若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且aw1)的反函数，且f(2)=1,则f(x)=()I一x2A.log2xB.C.log1xD.22x2
5、2解析：因为函数y=ax(a0,且aw1)的反函数是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以a=2.故f(x)=log2x.答案：A【例32】函数f(x)=3x(0x2)的反函数的定义域为()A.(0,+8)B.(1,9C.(0,1)D.9,+8)解析：10x2,.1.13x0,且aw1)中仅含有一个常数a,则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)=n或图象过点(mn)等等.通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)=logax(a0,且a*1),利用已知条件列方程求出常数a的值.利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比
6、如logam=n,这时先把对数式logam=n化为指数式的形式an=m把m化为以n为指数的指数募形式m=kn(k0,且k*1),11则解得a=k0.还可以直接写出am下,再利用指数募的运算性质化简mn.1 一 一 1,一.又a0,所以a 一 .当22114 2 (22) 2 2 122，一1.、，例如：斛方程loga4=2,则a=4,由于4，所以a21然，也可以直接写出a42,再利用指数募的运算性质，得a【例4-1】已知f(ex)=x,则f(5)=()A. e5B. 5eC. ln 5D. log se解析:(方法)令 t = e：则 x= ln t ,所以 f (t) = ln t ,即 f
7、 (x) = ln x.所以 f (5)=ln 5.(方法二)令ex=5,则x=ln5，所以f(5)=ln5.答案：C1【例42】已知对数函数f(x)的图象经过点一2，试求f(3)的值.9，分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出.解：设f(x)=logax(a0,且aw1),.对数函数f(x)的图象经过点1c1一 , 2 , f 99lOga1 2 . a2911 2-a9 f (3)log 133log13【例43】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9)1，、,且f(b) = _，试求2b的值.2且aw 1),由条件知 a13233 .解：设f(x)=logax(a
8、0,且aw1),则它的反函数为y=ax(a0,9=32,从而a=3,于是f(x)=log3x,则f(b)=log3b=1,解得b=25 .对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0,+8).(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0,底数大于0,且不等于1.若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义.-般地，判断类似于y=logaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)0.(3)求函数的定义域应满足以下原则:分式中分母不等于零；偶次根式中被开方数大于或等于零；指数为零的募的底数不等于零；对数的底数大于零且不等于1;对数的真数大于零，
9、如果在一个函数中数条并存，求交集.【例5】求下列函数的定义域.(1) y=log5(1x);(2)y=log(2x1)(5x-4);(3)yJlog0.5(4x3).分析：利用对数函数y=logax(a0,且aw1)的定义求解.解：(1)要使函数有意义，则1-x0,解得x1,所以函数y=log5(1x)的定义域是x|x0,4要使函数有意义，则2x10,解得x?且xw1,52x11,所以函数y=log(2x1)(5x4)的定义域是1U(1+8)5，一一一4x30,-3要使函数有意义，则解得-x1,10g0.5(4x3)0,4/3所以函数yq1og0.5(4x3)的定义域是x-0,且awl)的复合
10、函数，其值域的求解步骤如下：分解成y=logau,u=f(x)这两个函数；求f(x)的定义域；求u的取值范围；利用y=logau的单调性求解.(3)对于函数y=f(logax)(a0,且a*1),可利用换元法，设logax=t,则函数f(t)(tF)的值域就是函数f(logax)(a0,且aw1)的值域.注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论.(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响.当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围.【例61】求下列函数的值域：22、(1)y=log2(x+4)；(2)y=log1(
11、3+2xx).2解：(1)1.2+44,log2(x2+4)logM=2.,函数y=log2(x2+4)的值域为2,+00).(2)设u=3+2xx2,则u=(x1)2+40,1-0u4.2、一又y=log1u在(0,十)上为减函数，：10glu2.函数y=log1(3+2xx)的222值域为2,+8).【例62】已知f(x)=2+log3x,x1,3,求y=f(x)2+f(x2)的最大值及相应的x的分析：先确定y=f(x)2+f(x2)的定义域，然后转化成关于10g3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值.解：-f(x)=2+log3x,x1,3,y=f(x)2+f(x2)=(log3x)2+6log3x+6且定义域为1,3.令t=log3x(x1,3).1-t=log3x在区间1,3上是增函数，0t1.从而要求y=f(x)2+f(x2)在区间1,3上的最大值，只需求y=t2+6t+6在区间0,1上的最大值即可y=t2+6t+6在3,+8)上是增函数，.当
