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1、2020-2021九年级培优易错试卷平行四边形辅导专题训练含答案一、平行四边形1在四边形中，对角线平分.（1）如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若，探究边、与对角线的数量关系并说明理由.【答案】（1）.证明见解析；（2）成立；（3）.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立以C为顶点，AC为一边作ACE=60，ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明DACBEC即可解决问题；（3）结论：AD+
2、ABAC过点C作CEAC交AB的延长线于点E，只要证明ACE是等腰直角三角形，DACBEC即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，D+B=180，B=90，D=90，DAB=120，AC平分DAB，DAC=BAC=60，B=90，ABAC，同理ADACAC=AD+AB（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作ACE=60，ACE的另一边交AB延长线于点E，BAC=60，AEC为等边三角形，AC=AE=CE，D+ABC=180，DAB=120，DCB=60，DCA=BCE，D+ABC=180，ABC+EBC=180，D=CBE，
3、CA=CE，DACBEC，AD=BE，AC=AD+AB（3）结论：AD+ABAC理由如下：过点C作CEAC交AB的延长线于点E，D+B=180，DAB=90，DCB=90，ACE=90，DCA=BCE，又AC平分DAB，CAB=45，E=45AC=CE又D+ABC=180，D=CBE，CDACBE，AD=BE，AD+AB=AE在RtACE中，CAB=45，AE.2如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发以每秒1个单位的速度运动其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动过点M作MPOA，交AC于P，连接NP
4、，已知动点运动了x秒（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；（2）试求NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）当x为何值时，NPC是一个等腰三角形？简要说明理由【答案】（1）P点坐标为（x，3x）（2）S的最大值为，此时x=2（3）x=，或x=，或x=【解析】试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，可通过PMOC得出的对应成比例线段来求；也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=ABPQ来求出PM的长得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标（2
5、）可按（1）中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BCBN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式（3）本题要分类讨论：当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CNCQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的长，联立CN的表达式即可求出x的值试题解析：（1）过点P作PQBC于点Q，有题意可得：PQAB，CQP
6、CBA，解得：QP=x，PM=3x，由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4x，3），P点坐标为（x，3x）（2）设NPC的面积为S，在NPC中，NC=4x，NC边上的高为，其中，0x4S=（4x）x=（x2+4x）=（x2）2+S的最大值为，此时x=2（3）延长MP交CB于Q，则有PQBC若NP=CP，PQBC，NQ=CQ=x3x=4，x=若CP=CN，则CN=4x，PQ=x，CP=x，4x=x，x=；若CN=NP，则CN=4xPQ=x，NQ=42x，在RtPNQ中，PN2=NQ2+PQ2，（4x）2=（42x）2+（x）2，x=综上所述，x=，或x=，或x=考点：二次函数综合题3操作
7、：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将ABP沿AP向右翻折，得到AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，若BAP=30，求AFE的度数；若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时AFD的度数归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论【答案】（1）45；BC的中点，45；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见
8、解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EGAD，得EGBC，得到AF垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），AFD的度数不会发生变化，作AGDF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出1+2的度数，即为FAG度数，即可求出F度
9、数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，AFD的度数不会发生变化，理由为：作AGDE于G，得DAG=EAG，设DAG=EAG=，根据FAE为BAE一半求出所求角度数即可试题解析：（1）当点P在线段BC上时，EAP=BAP=30，DAE=90302=30，在ADE中，AD=AE，DAE=30，ADE=AED=（18030）2=75，在AFD中，FAD=30+30=60，ADF=75，AFE=1806075=45；点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EGAD，得EGBC，EGAD，DE=EF，EG=AD=1，AB=AE，点A在线段
10、BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，AF垂直平分线段BE，OB=OE，GEBP，OBP=OEG，OPB=OGE，BOPEOG，BP=EG=1，即P为BC的中点，DAF=90BAF，ADF=45+BAF，AFD=180DAFADF=45；（2）AFD的度数不会发生变化，作AGDF于点G，如图1（a）所示，在ADE中，AD=AE，AGDE，AG平分DAE，即2=DAG，且1=BAP，1+2=90=45，即FAG=45，则AFD=9045=45；（3）如图2所示，AFE的大小不会发生变化，AFE=45，作AGDE于G，得DAG=EAG，设DAG=EAG=，BAE=90+2，FA
11、E=BAE=45+，FAG=FAEEAG=45，在RtAFG中，AFE=9045=45考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.4如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且ABC+ADC=180（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）若ADF：FDC=3：2，DFAC，求BDF的度数【答案】(1)见解析；（2）18.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出ABC=90，根据矩形的判定得出即可；（2）求出FDC的度数，根据三角形内角和定理求出DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出CDO，即可求出答
12、案【详解】（1）证明：AO=CO，BO=DO四边形ABCD是平行四边形，ABC=ADC，ABC+ADC=180，ABC=ADC=90，四边形ABCD是矩形；（2）解：ADC=90，ADF：FDC=3：2，FDC=36，DFAC，DCO=9036=54，四边形ABCD是矩形，OC=OD，ODC=54BDF=ODCFDC=18【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形5在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EAF=CEF=45.(1)将ADF绕着点A顺时针旋转90，得
13、到ABG(如图)，求证：AEGAEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，EAF=GAE=45，故可证AEGAEF；（2）将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，连结GM由（1）知AEGAEF，则EG=EF再由BME、DNF、CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明GME=90，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，根据旋转的性质可以得到ADFABG，则DF=BG，再证明AEGAEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF试题解析：（1）ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，AF=AG，FAG=90，EAF=45，GAE=45，在AGE与AFE中，AGEAFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，连结GM
