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1、量子力学思考题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体系。解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过而完
2、全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。解答：设和是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由和的线性叠加来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由确定，中出现有和的干涉项，和的模对相对相位对概率分布具有重要作用。4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果和是体系的可能态
3、，则它们的线性叠加也是体系的一个可能态”。（1）是否可能出现；（2）对其中的与是任意与无关的复数，但可能是时间的函数。这种理解正确吗？解答：（1）可能，这时与按薛定谔方程的要求随时间变化。（2）如按这种理解 已知和是体系的可能态，它们应满足波方程式 如果和的线性叠加也是体系的可能态，就必须满足波方程式 ，然而， 可见，只有当时，才有。因此，中，与应是任意复常数，而不是时间的复函数。如上式中态不含时间，则有。5、（1）波函数与、是否描述同一态？（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？这里是复常数，是实常数。解答：（1）与、描述的相对概率分布完全相同，如对空间和两点的相对概率 ，故与、均描述同
4、一态。（2）由于任意复数，以及 显然，只有当复数，即，且时， 均描述同一态。6、量子力学规律的统计性与经典统计力学的统计规律有何不同？量子力学统计规律的客观基础是什么？解答：经典统计力学的基础是牛顿力学，例如一定量气体中每个气体分子在每个瞬时都有确定的位置和动量，每个分子都按牛顿运动定律而运动，而大量分子组成的体系存在着统计规律。例如，对个别分子不存在温度这个概念，处于平衡态的理想气体的温度是分子平均平动动能的量度。 与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。 在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决
5、定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用的结果。如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义的，也是没有必要的。7、量子力学为什么要用算符表示力学量？表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的？解答：用算符表示力学量，是量子体系所固有的波粒二象性所要求的，这正是量子力学处理方法上的基本特点之一。我们知道，表示量子态的波函数是一种概率波，因此，即是在一确定的量子态中，也并非各力学量都有完全确定值，而是一般的表现为不同数值的统计分布，这就注定了经典力学量的表示方法（可由运动状态完全决定）不再使用，因此需要寻求新的表示
6、方法。 下面从力学量的平均值的表示式出发，说明引入算符的必要性。 如果体系处于中，则它的位置平均值为 类似地，它的动量的平均值也可表示为 若要求出上述积分，必须将p表示为x的函数，然而这是做不到的，因为按不确定关系P(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中用上式求动量平均值。我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后再转换到坐标表象中去。 利用有 作代换，并对积分得（推广到三维） 可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符相当。实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。 用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明
7、。我们知道，在量子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间一般并不满足交换律，也就是存在不对易情况，因此用算符表示力学量是适当的。 力学量必须用线性厄密算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学量必须由厄密算符来表示。8、力学量之间的对易关系有何物理意义？解答：力学量之间的对易关系，是量子力学中极为重要的关系。它相当于旧量子论中的量子化条件，具有深刻的物理含义。对易关系表明，经典因果性不
8、是普遍成立的，并指出各类力学量能够同时确定的条件（相互对易），体现了量子力学的基本特点。与不确定原理一样，力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二象性。从纯理论的角度说，它也可以作为量子力学的基本出发点。此外，对于有的力学量，对易关系反映了它的基本特征，如，就可作为角动量的定义。9、什么是力学量的完全集？它有何特征？解答：设有一组彼此独立而又相互对易的力学量（），它们的共同本征函数系为，如果给定一组量子数就可以确定体系的一个可能态，那么，就称（）为体系的一个力学量完全集。它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组所包含
9、的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。10、何谓定态? 它有何特征？解答：定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。若势场恒定，则体系可以处于定态。定态具有以下特征:（1）定态波函数时空坐标可以分离，其中是哈密顿量的本征函数，而为相应的本征值；（2）不显含时间的任何力学量，对于定态的平均值不随时间而变化，各种可能值出现的概率分布也不随时间而变化。注意，通常用表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写粒子状态的波函数都是含时的。11、（1）任意定态的叠加一定是定态。理由如下：定态的线性叠加 态中平均值与无关，所以叠加态是定态。（2）体系的哈密顿
10、量不显含时间时，波动方程的解都是定态解。以上说法正确吗？解答：（1）能量不同的定态的叠加态中，不具有确定的能量值，尽管与无关，但位置概率密度依赖于时间，这表明任意定态的叠加不再具有定态的特征，是非定态。 （2）由于波动方程是线性的，体系中不同定态叠加而成的非定态仍是波动方程的解。因此，只能说定态解（不显含时间）是体系含时波动方程的解，但不能说该体系的含时波动方程的解都是定态解。由此可以看出，由于定态是能量的本征态，本征值方程中明显出现，体系中不同能量的本征态的线性叠加不可能再是原本征方程的解，而这种叠加态正是实际存在的最一般的可能态。12、什么是束缚态？它有何特征？束缚态是否必为定态？定态是否
11、必为束缚态？举例说明。解答：当粒子被势场约束在特定的区域内运动，即在无限远处波函数等于零的态叫束缚态。 束缚态的能级是分立的。例如，一维谐振子就属于束缚定态，具有量子化的能级。但束缚态不一定是定态，例如限制在一维盒子中的粒子，最一般的可能态是一系列分立的定态叠加而成的波包，这种叠加态是没有确定能量的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态，但定态也可能有非束缚态，例如在散射中，粒子并不局限于有限区域，但粒子处于能量本征态，这时粒子处于非束缚态，或者说粒子处于散射定态（简称为散射态）。13、不确定关系如何体现微观粒子的普遍本质波粒二象性？解答：对于微观粒子使用“波粒二象性”的术语，这本身既反映了经典
12、物理概念的局限性，又反映了我们语言的局限性。我们可以认为，物质兼具粒子性和波动性，但确切地说，它们既不是经典波，也不是经典粒子，经典物理中粒子和波的概念只有经过修正才能被量子理论借用，不确定性关系就反映了这种修正，它给出了这两个概念能够被有效借用的限度，如给出了用粒子图像描述物质的局限性。14、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。解答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。具体说，如果力学量的本征函数为，相应本征值为。任意态矢可展开为态矢在表象的表示为展开系数组成的一列矩阵 其意义是：在态中，力学量取值的几率为，与坐标表象波函数的意义相类似。力学量用厄
13、密矩阵表示 可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。 用矩阵表示力学量，理由如下： （1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。设，则 简记为； （2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求； （3）厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。15、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?解答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化的，对角元素就是它的本征值 本征矢为单一元素列矩阵 16、设，分别在坐标和动量表象中写出的矩阵元。解答：（1）坐标表象基矢为 （2）动量表象基矢为 17、试将坐标表象与动量表象加以比较，再由坐标表象的定态薛定谔方程直接写出其在动量表象的表达式。解答：坐标表象与动量表象是一对共轭表象，表示形式十分类似 表象 表象 ： ： 本征态： 本征态： 一般波函数在表象的表示与在表象的表示之间的关系为 可见，只要令有关表达式中，便可由一个表象转到另一个表象；两个表象波函数在傅立叶变换中互为镜像。 定态S-eq在动量表象的表示 18、已知一维谐振子在坐标表象的能量本征函数，不用计算，直接写出其在动量表象的能量本征函数。解答：一维谐振子的哈密顿量为
