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1、一、等差数列选择题1九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ）A钱B钱C钱D钱解析：C【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，a，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，a，则根据题意有，解得，所以戊所得为，故选：C.2在1与25
2、之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A3、8、13、18、23B4、8、12、16、20C5、9、13、17、21D6、10、14、18、22解析：C【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字.【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则，则，则这5个数依次是5，9，13，17，21.故选：C3已知等差数列中，则的值是（ ）A15B30C3D64解析：A【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式列方程组，求出和的值，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则，即 解得：，所以，所以的值是，故选：A4已知等差数列的前项和为，且.定义数列如下：是使不等式成
3、立的所有中的最小值，则（ ）A25B50C75D100解析：B【分析】先求得，根据，求得，进而得到，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列的前项和为，且，可得，因为，即，解得，当，（）时，即，即，从而.故选：B.5设等差数列的前项之和为，已知，则（ ）ABCD解析：B【分析】由等差数列的通项公式可得，再由，从而可得结果.【详解】解：，.故选：B.6已知数列的前项和，则（ ）A20B17C18D19解析：C【分析】根据题中条件，由，即可得出结果【详解】因为数列的前项和，所以故选：C7在等差数列中，若为其前项和，则的值是（ ）A60B11C50D55解析：D【分析】根据题中条件
4、，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】因为在等差数列中，若为其前项和，所以.故选：D.8设等差数列的前项和为，且，则（ ）A15B20C25D30解析：B【分析】设出数列的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列的公差为，则由已知可得，所以故选：B9已知等差数列满足，则（ ）A10B9C8D7解析：A【分析】利用等差数列的性质结合已知解得，进一步求得【详解】在等差数列中，设公差为，由，.故选：A10已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则=（ ）ABCD解析：D【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式即可
5、求解.【详解】由，.故选：D11已知等差数列中，则的前n项和的最大值为（ ）ABC D 解析：B【分析】根据已知条件判断时对应的的范围，由此求得的最大值.【详解】依题意，所以，所以的前n项和的最大值为.12已知数列的前n项和，则（ ）A350B351C674D675解析：A【分析】先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.【详解】当时，；当时，.不适合上式，.因此，；故选：A.【点睛】易错点睛：利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足.13设数列的前项和. 则的值为（ ）ABCD解析：C【分析】利用得出数列的通项公差，然后求解.【详解】由得，所以，所以，故.故选：C.【点
6、睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用求解即可.14中国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ）A3斤B6斤C9斤D12斤解析：C【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求.【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为，粗的一端的重量为，可知，根据等差数列的性质可知，中间三尺为.故选：C【点睛
7、】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.15等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于（ ）A8B10C12D14解析：C【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】an为等差数列，S312，即，解得.由，所以数列的公差，所以，所以.故选：C二、等差数列多选题16题目文件丢失！17已知数列满足，且，则（ ）ABCD解析：ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD【详解】由题意，A正确，C正确；，数列是周期数列，周期为3，B错；，D正确故选：ACD【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项
8、后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解18已知数列中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（ ）A4B2C0D2解析：AB【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】，则，上述式子累加可得：，对于任意的恒成立，整理得对于任意的恒成立，对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，故选：AB.【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间
9、上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.19若数列满足，则数列中的项的值可能为（ ）ABCD解析：ABC【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列满足，依次取代入计算得，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.故选：ABC.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.20设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）ABC的最大值为D的最大值为解析：AD【分析】分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项.【详解】, 与题设矛盾.
10、符合题意.与题设矛盾. 与题设矛盾. 得，则的最大值为.B，C，错误.故选：AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：.21已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（ ）Aa13B若d1，则ann2+2nCa2可能为6Da1，a2，a3可能成等差数列解析：ACD【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为，所以a13，an1+(n-1)d(n+2n).若d1，则ann(n+2n)；若d0，则a26.因为a26+6d，a311+22d，所以若a1，a2，a3成等差数列，则a1+a3a2，即14+22d12+12d，解得.故
11、选ACD22等差数列中，为其前项和，则以下正确的是（ ）ABC的最大值为D使得的最大整数解析：BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，所以，故A错误；所以，所以，故B正确；因为，所以当且仅当时，取最大值，故C正确；要使，则且，所以使得的最大整数，故D正确.故选：BCD.23是等差数列，公差为d，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）ABCD解析：ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确；
12、又，所以，故C不正确；又因为等差数列是单调递减数列，且，所以，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式，及，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.24在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A若是等差数列，则是等方差数列B是等方差数列C若是等方差数列，则为常数也是等方差数列D若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：BCD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项
13、逐一判断即可.【详解】对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故B正确；对于C，数列中的项列举出来是，数列中的项列举出来是，将这k个式子累加得，k为常数是等方差数列，故C正确；对于D，是等差数列，则设是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.25下列命题正确的是（ ）A给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B若等差数列的公差，则是递增数列C若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列D若数列是等差数列，则数列也是等差数列解析：BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C选项：时，是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；D选项：数列是等差数列公差为，所以也是等差数列；故选：BCD【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的
