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1、球体间万有引力计算的探究南京市第12中学杨伟高中物理中关于万有引力定律是这样叙述的“自然界中任何两个物体都相互吸引，弓|力的大小与物体 的质量m!和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。”这种表达是很不严密的。 因为距离应 该是两个点之间的，当物体可视为质点时没有问题，但当物体不能看成质点时就为难了。对此人教版普通 高中课程标准实验教科书物理必修2 P70上有这么一段说明：“ “两个物体间的距离”到底是指物体哪两部分间的距离？对于可以看做质点的物体，当然就是这两个点间的距离。如果是地球，月球等球体，牛顿应 用微积分的方法得知，这个距离应该是球心间的距离。”（其中加下划线的三个“间”
2、是本人加上去的）牛顿是怎样用微积分的方法得知的，我们都不得而知，所有的教参上也都没有提到。我想做一件被 大家忽略的事或许会有点意思。于是就有了下文，我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计 算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。”方法一：微积分方法。这种方法比较复杂，为了简化，我用命题1和命题2做铺垫。命题1。质量分布均匀的圆环对在其轴线上的质点的万有引力。设环质量为mi，质点质量为m2，环半径为r ,环中心到质点的距离为 x ,把环分成许多小段，任取一小段可视为质点，其质量为dm ,它对质 点的引力为dF ,再把其分解为沿轴和垂直于轴 的两个分量dF1和dF2，由于质量分
3、布均匀，由对称性可知环上所有dm对质点引力的dF2分量的矢量和为零，所以环对质点的引力为#F= dF 1讪1G m 2dm 1.而 dF1=dFCos?=2cos :r1X2G m2dm 1r2 x2/r2 - x2所以d F1G m1 m2x(r*2)32G m 2xdm 1r2 - x2 %命题2:质量分布均匀的圆面对在其轴线上的一个质点的万有引力设圆面质量为 M1，质点质量为m2，圆面半径为R， 圆心到质点的距离为 x ，在圆面内任取一半径为r宽为dr的同心圆环，则由命题1得此圆环对质点m2的 引力为dFM12 2兀 rd r m2x 江R丿3 f2 2 2r x2G M 1m2 xrd
4、 r#0RdF2GM 1m2x RR23 dr2GM 1m2x2RGM 1m2x-2 x2rGM 1m222R 2正题：质量分布均匀的球体对其外的一个质点的万有引力设球的质量为M,质点的质量为m,球心到质点的距离 为L,球半径为r为了计算球对质点的引力，可以在球中截取 一半径为R厚度为dx并且其轴线与球心和质点的连线重合的圆片 由命题2可得该圆片对质点的引力为 ：,设此圆片的中心到质点m的距离为x.则dF2GM43-nr3: R2dxR21x1+ R2 V3G M m-2r3dx-R2，亠 2-R2 r - - L x-3GM m-2r31 -(r21-L2 2Lx ；dx-3G M m2r3
5、dx2Lx 21厂dx 主-r2 L22 Lx 2L rdx二 2r为了计算L rl.x222r -L 2Lx 2x#x2 2r L =a，2L =bb22_L 2 Lx-dx -=：dxa bx 2-十a +bxa (a +bx 丫 (a +bxa bxia2 i j a bx 2 d a bx 耳b b1 d a bxa bx237 abx237a亠bx2aa 亠 bx 2 C b12 bx - 2 a 亠 C#x#x还原r一 2r -LT dx2 Lx 21 R 223*22(r - L +2 Lx) fr - L -Lx)3L2L .r2 22 r -L 2 Lx 3L#x#x32r二
6、 2 r .3L所以F=3GMm厂2-(2址)七3L2L2#x#x这说明：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。方法二：类比法，为了数学形式的对称，我引入了万有引力场强度和万有引力通量着两个概念，不知是否 恰当，请专家指点。#x#x库仑定律:F电14二；Qq尹.r万有引力定律:F引Mm(令 G )4 二；电场强度:万有引力场强度:电通量：d门E电d s万有引力通量：d： = E引d s#- q咼斯定律：一| E电d s -（q为闭合面内的总电量）#应用高斯定律，计算均匀带电球体在其外任一点p的电场强度。设球半径为R,带电量为Q,球心到p点的距离为r.过p
7、点作与带电球同心的球面 S,因为电荷分布均匀由对称性可知S面上各点的场强大小相等设为E,方向沿径向，2通过S的电通量为： G . s E电d s = E 4 7： r由高斯定律得：2 QQE 4 二 r即 E=2名4兀e r- Q -E电=-r其中r为径向单位矢量。4 二；r由于数学表达式完全对称，因此，同理可得，质量分布均匀的球体在其外任一点的万有引力场强度M为球的质量，r为球心到所取点的距离1因为G =4阳所以 ME 引=G r。 rm的质点时，球对该质点的又因为质点的引入不会影响球体的质量分布，故在所取点上放入一质量为 万有引力为：M mF 引=E 引 m = G 一 r.r（其中的r为沿球心和质点的连线向内的单位矢量） 这也证明了：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。参考：1、高中物理教材。、清华大学教材大学物理学第三册电磁学 张三慧主编3、电磁学梁灿彬 秦光戎 梁竹健编#
