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1、第二十届北京市大学生竞赛（经济管理类）一(本题30分，每题3分)1.极限 。解：记，则，。2. 设在处可导，且，则极限 。解：。3.设，则 。解：将对微分得到，因此，简单计算可得。4. 设有一个原函数是，那么 。解：首先由分部积分公式有，又有一个原函数，所以，。5. 曲线绕其渐近线旋转所得旋转体体积 。解：渐近线为轴，。6. 设，则 。解：，因此，。7. 设，则积分 。解：积分区域关于轴、轴及原点对称，而在上是关于且关于为偶函数，在上是关于的奇函数，设为积分区域第一象限部分，则。8. 已知级数收敛，则实数的取值范围是 。解：当时，因此。9. 设为某个二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为
2、 。解：不妨设二阶常系数齐次线性微分方程为，由通解形式可知其特征方程有一对共轭复根，其中，又由题意知，从而解得，所以微分方程为。10.设,变量且那么 。解：在所给变换下，原方程化为。二. (本题10分)计算极限。解：原式（3分）（4分）（2分）。（1分）三(本题10分)设可微，且满足条件，求。解：解题设中的关于的微分方程，则或（3分）。由得（1分）。再解题设中关于的微分方程 ，则（3分）。根据得（1分）。故（2分）。四(本题10分)计算，其中D为正方形区域。解:用直线将D划分为左上部分D1和右下部分D2，在D1上，在D2上，且D1 和D2关于对称（1分），所以（2分）（1分）（1分）（1分）（
3、1分）又，于是（1分），（1分），所以（1分）。五(本题10分)设，（1）求；（2）试证对于任意的常数，级数收敛。（1）解：（2分）。令，则上式=(1分)，因此（1分），于是（1分）。（2）证明：令，则（2分），所以对于任意的常数，（2分），而级数收敛，从而级数收敛（1分）。六(本题10分)某湖泊的蓄水量为,每年流入湖泊中的含污染物A的污水量为，流入湖泊中的不含污染物A的水量为，流出湖泊的水量为。已知2005年底湖泊中污染物A的含量为，超过国家规定的指标，为了治理污染，从2006年初，限定流入湖泊中的含污染物A的污水浓度不超过，问至少需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至以内。假设湖水中污染
4、物A的分布是均匀的。解：设年湖泊中污染物A的含量为，则浓度为，污染物增量为，又设2006年初（1分），由于污染物A的增量=污染物A的流入量-污染物A的流出量，（1分）在时间间隔内污染物A的流入量为（1分），污染物A的流出量为（1分），于是，即（1分），此微分方程可以看作可分离变量的微分方程，也可以看作一阶线性微分方程，求解得：（2分），由得，因此满足初始条件的特解为（1分），又由，解得年，即至少需要经过6.6年，湖泊中污染物A的含量降至以内（2分）。七. (本题10分)设是二次可微的函数，满足，且对任意的有，证明：对每个，都有。证明：首先，令，则（2分），因此（2分），所以，或者（2分）。进一步有，即（2分），所以（1分），即（1分）。如果由方程求解得出，给2分。八. (本题10分)利用定积分证明恒等式：。证明：用两种不同的方法计算定积分（4分）。第一种，（1分）（1分）（1分）。第二种，（1分）（1分）（1分）。1
