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1、108个温馨提示（数学）第一章 预备知识注意：是的充分非必要条件的充分非必要条件是，千万不要搞混了，尤其是在选择题中！区分命题的否定与否命题！“若则”，命题的否定是“若则”（真值相反），否命题是“若则”（真值无关）。1. 集合中的元素具有无序性和互异性，如集合隐含条件，集合不能直接化成。2. 研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如：与及三集合并不表示同一集合；再如：设，问中元素有几个？能回答是一个、两个或没有吗？（显然不能，此处不是指直线和圆的交点个数是是一个、两个或没有！两个集合的元素都相同，故交集为空集！）3. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况，不要忘记借
2、助数轴和韦恩图进行求解；若，则说明集合和集合没有公共元素，你注意到两种极端情况了吗？和；对于还有n个元素的有限集合，其子集、真子集和非空真子集的个数分别是、和，你知道吗？是的子集，若你可要注意情况。4. 你会用补集的思想解决有关问题吗？，这种思想在计算概率时也经常用到：，。（这两个概率式子完全没用，理解就行，表示相互独立事件同时发生，表示互斥事件至少有一个发生）5. 四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真假！复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样，差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？反证法证题的三部曲你还记得
3、吗？（假设、推矛、得果）第二章 函数映射，映射个数；反函数三反（定义域、值域、对应法则）一对称（图象），保奇同增减；函数的性质:奇偶性：函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称；奇函数的特点就是，填空选择题时可以简便运算；既奇且偶函数如；对称性：关于直线对称如，；关于点对称如；关于点对称如；形如的图像是双曲线，对称中心是点；周期性：（最小正周期为）；（最小正周期为）；（最小正周期为）；（最小正周期为）；不存在最小正周期的函数如，；单调性：复合函数同增异减；函数的最值：配方法:形如的函数（根据二次函数极值点或边界点确定最值）；判别式法：形如的函数（易出增根，应检验取最值时对应的是否有解）；均
4、值定理：形如的函数（注意等号是否成立）；函数单调性：形如的函数或一般不能用均值定理、判别式法求解的函数；函数有界性：形如形如的函数（先解出形如，再利用求最值）；反函数法（求反函数的定义域）；代数换元法：形如的函数（令，将原函数表示成关于的函数再求最值）；三角换元法：形如的函数（根据的取值，可令或等，再利用三角函数有界性求最值）；图像法：形如的函数（在同一坐标系中画出等号左右两边的两个函数的图像，再利用解析几何的方法求最值）：例如：已知，且，当在变化时，的取值范围是 （令，则，作图，由线性规划得）；分离常数法：形如的函数；求导法（比较极值点和边界点，确定最值）；函数的图像：平移变换（：上加下减，
5、左加右减）、伸缩变换（：伸长、）、对称变换（函数轴对称变换、点对称变换）、翻折变换（：右翻左；：下翻上）；二次函数：*时的动轴定区间（或定轴动区间）问题，求最大值要讨论3次，求最小值要讨论2次，求最值要讨论4次；*二次函数根分布问题：当实数取什么值时，的方程有两个正根：；有一个正根，一个负根：；有两个都大于的根：；一根，另一根：；指数与对数函数：函数定义域为时，时，时，；值域为时（的值域），时，时，。指数函数与其反函数对数函数的交点数，即函数与交点个数为0个，1个，2个或3个（当的值很小时（如甚至更小时），图像交点为3个，这个图像可用软件画出来，例如几何画板）；常见的抽象函数正比例函数型：；幂
6、函数型：；指数型函数：；对数函数型：；三角函数型：。6. 求不等式（方程）的解集，或求定义域时，你按要求写成集合形式了吗？7. 研究一个函数的图像或性质时，你首先考虑函数的定义域了吗？8. 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你注明了该函数的定义域了吗？（1）求反函数的步骤掌握了吗？（先求函数的定义域和值域反解互换x，y，得到，一定要注明定义域！）原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域。原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也是单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调，这样的函数是什么？如分段函数，注意，但不一定成立！（2）函数的反函数是，而不是
7、。9. 求一个函数的反函数时，你是按照“先求反函数，后求值”的原则解题的吗？如：已知，求；再如：已知函数，求，一般是先求出，再用代入法求出。存在反函数，求的反函数（）。10. 如何利用二次函数求最值？注意对项的系数进行讨论了吗？若恒成立，你对的情况进行讨论了吗？若改为二次不等式恒成立，情况又怎样呢？11. 二次函数的三种形式：一般式、交点式、顶点式，你了解各自的特点吗？特别提醒：二次方程的两根即为不等式的解集的端点值，也是二次函数的图像与轴交点的横坐标。对二次函数，你了解系数对图像的开口方向、在轴截距、对称轴等的影响吗？对函数，若定义域为R，则的判别式小于零；若值域为R，则的判别式大于或等于零
8、，你了解其道理吗？12. 求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数的单调增区间？再如已知函数在区间上单调增，你会求的范围吗？若函数的单调增区间为，则的范围是什么？若函数在区间单调递增，则的范围是什么？两题结果为什么不一样呢？13. 函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定和证明是两回事！判断方法（图像法、复合函数法等）求函数单调性时，易错误地方在多个单调区间之间加符号“”和“或”，应该是“和”；单调区间是区间不能用集合或不等式表示。14. 判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（奇偶函数的定义域关于原点对称）15. 常见函数的图像作法你掌握了吗？哪三种图像变换法？（平
9、移、对称、伸缩变换）函数的图像不可能关于x轴对称。（为什么？）函数的图像与x轴的垂线至多一个公共点，但与y轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个；函数的图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数的图象；如圆。图象关于y轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数。两图象关于直线对称的两函数是一对反函数。16. 由函数图象怎么得到函数的图象？由函数图象怎么得到函数的图象？由函数图象怎么得到函数的图象？由函数图象怎么得到函数的图象？由函数图象怎么得到函数的图象？（1）曲线：关于x轴对称的曲线是：（2）曲线：关于y轴对称的曲线是：（3）曲线：关于直线对称的曲线是：（4）曲线：
10、关于直线对称的曲线是：（5）曲线：关于原点对称的曲线是：（6）曲线：关于点对称的曲线是：17. 函数的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用基本不等式求最值的联系是什么？若呢？你知道函数的单调区间吗？（在和上单调递增；在和上单调递减）求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值。18. 切记：研究函数性质注意一定在该函数定义域内进行！一般是先求定义域，化简，再研究性质。19. 解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质明确了吗？你还记得对数恒等式（）和换底公式吗？知道吗？指数函数与其反函数对数函数的交点数（0个、1个、2个都可能）。第三
11、章 三角函数任意角三角函数的定义：；扇形中，；三角变换：同角三角函数关系（平方，商数，倒数）；诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）；两角和差公式；倍角公式；三角函数的图像：中，振幅、周期、频率、相位、初相；反三角函数：（其中，）；（其中，）；（其中，）；方程的解集为；方程的解集为；方程的解集为；解三角形：知三边余弦定理求最大角正弦定理；知一边及两角正弦定理；知两边夹角余弦定理求第三边正弦定理求最小角；知两边及一对角。20. 你还记得什么叫终边相同的角吗？若角与的终边相同，则；若角与的终边共线，则；若角与的终边关于x轴对称，则；若角与的终边关于y轴对称，则；若角与的终边关于原点对称，则；若角与的终
12、边关于直线对称，则；各象限三角函数值的符号知道吗？角的正弦余弦值还记得吗？（，）21. 什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如；由三角函数线，我们很容易得到函数，和的单调区间；三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出它的单调区间、对称中心、对称轴及其取得最值时的x值的集合吗？（别忘了）的对称中心是，而不是你可不能搞错了！22. 三角函数中，两角和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？中角是如何确定的？（可由确定，也可由及的符号来确定）公式的作用太多了，有此体会吗？23. 会用五点法画的草图吗？哪五点会根据图象
13、求参数的值吗？24. 同角三角函数的三个基本关系，你都记住了吗？三角函数诱导公式的本质是：“奇变偶不变，符号看象限”。25. 正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边角互化？（用面积公式、正、余弦定理，大角对大边等实现转化）26. 你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？（1）角的变换：和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化（，等）（2）名的变换：切割化弦（3）次的变换：降次升幂公式（4）形的变换：通分、去根式、1的代换等。27. 在已知三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函数值）28. 形如，的最小正周期会求吗？有关周期
14、函数的结论还记得多少？周期函数对定义域有什么要求吗？求三角函数周期的几种方法你记得吗？29. 在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？例如：已知，求的变化范围。30. 请记住与之间的关系。31. 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？（1）异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是，；（2）直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是，；（3）反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是，。32. 以下几个结论你记住了吗？（1）如果函数的图象同时关于直线和对称，那么函数是周期
15、函数；（2）如果函数满足，那么函数是周期函数；（3）如果函数的图象既关于直线成轴对称，有关于点成中心对称，那么是周期函数；（4）如果函数的图象关于两点成中心对称，那么是周期函数。33. 如果，则的图象关于对称。34. 解三角不等式或已知三角函数的值求角时你注明了吗？35. 你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？，若是角度，公式又是什么形式呢？36. 三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？（1）内角和定理：三角形三内角和为；，；（2）正弦定理：（为三角形外接圆的半径)，；注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解。（3）余弦定理：，等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型；（4）三角形面积公式：。第四章 不等式不等式的性质：（左边取等号，右边取等号）；（左边取等号，右边取等号）；均值定理：设，则；解不等式：分类讨论的思想；不等式的证明：作差比较法，作商比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，判别式法
