《把f展开为正弦级数.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《把f展开为正弦级数.doc（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、(2) 把f展开为正弦级数. 奇延拓: g (x) = an = 0, bn =sindx (n = 1, 2, ), f (x) sin=例1. f (x) = x 2 (| x |1), 以2为周期. l = 1, 偶. bn = 0, an =,a 0 =2. x 2 = + (| x |1).例2. f (x) = x (0x1), 展开为 1) 正弦级数, 2) 余弦级数.解 l = 1. 1) bn = 2, f (x) 2) an = 2a0 = 2= 1, x = - (0x1).例3(p.77.1(2). f (x) = x - x , 周期为1, l = . 在0,1)上,
2、 f (x) = x, a0 = 1, an = 2= 0, bn = 2, f (x) -例4(p.78.8(1). f定义在0, p / 2上. 如何延拓为(-p, p)上的函数, 使其F级数为 a2n-1 cos (2n -1)x.解bn = 0 f (-x) = f (x),a2n = 0 0 =(p - t) cos 2n (p - t) dt = f (x) + f (p - t)cos 2nx dx f (p - x) = - f (x).廿六. 收敛性定理的证明及F级数的其它性质Riemannn-Lebesgue引理 若f 在a, b上可积, 则(x) sin lx dx =(
3、x) cos lx dx = 0.证 e 0 $ a, b的分割x0 = a, x1 , , xn = b使Mk - mk ) ( xk - xk-1) 时|(x)sin lx dx | = |- mk + mk )sin lx dx | Mk - mk ) ( xk - xk-1) +=e .推论 若f在-p , p上可积, 则f的F系数an , bn 0 (n).定理 若f以2p为周期, 在-p, p上分段可微, 则an cos nx + bn sin nx) = (x-p, p).证 设sn (x) =+ak cos kx + bk sin kx), 要证明n时sn (x) -.0 (x
4、-p , p )第一步 用积分表示F级数的部分和: ak cos kx + bk sin kx =(t) (cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt=(t) cos (kt - kx) dt , sn (x) =(t) dt +(t)(kt - kx) dt=(t) (+(kt - kx) dt (+ku) du=(x+t) Dn (t) dt,其中Dn (t) =+, 称为Dirichlet核.第二步 用积分表示sn (x) -: =, sn (x) -= - f (x-)=f (x + t) - f (x-) Dn (t) dt . (*)第三步 应用R-L引理,
5、 (*)中两个积分0 (n):第一个积分的被积函数为g (t)sin (n +)t, 其中g (t) =, 由R-L引理, 只需证明g在0, p上可积: 由分段可微条件2, t = 0不是奇点, 因而g是至多有有限个间断点的有界函数, 可积.Bessel不等式 若f在-p, p上可积, 则2, 其中an , bn为f的F系数.证 设sn (x) =+ak cos kx + bk sin kx), 则0= -+, (*)+), = +2. 代入(*)且令n得证.注 对0, 2p ,-l, l ,0, 2l 有类似的不等式, 只需把. 由Bessel不等式, , 总收敛.最佳平均逼近定理(p.83
6、总练习题2) 若f在-p, p 上可积, Tn(x) =+Ak cos kx + Bk sin kx) (Ak , Bk R), a0 , ak , bk (k = 1, 2, , n)是f的F系数, 则当且仅当A0 = a0, Ak = Bk, Bk=bk (k=1,n)时取最小值, 即n, A0, ak, Bk ,.证 仿Bessel不等式的证明, =- 2 (a0A0 + pAk ak + Bk bk ) +=+(A0 - a 0)2-) +p(ak - Ak )2 -) + p(bk - Bk )2 -), 当且仅当A0 = a0, Ak = Bk, Bk = bk 时取最小值- p
7、(+) =.Parseval等式 =+). 条件(p.83.2): 在-p, p上f可积, 其F级数一致收敛.证 an cos nx + bn sin nx ) = f (x)一致, f有界, 故f (x)an f (x)cos nx + bn f (x) sin nx ) = f 2 (x)一致, 可逐项积分.注 可以证明, 只要f可积(当然以2p为周期), Parseval等式就成立.若f, g可积, g = 0, 则称f在a, b上正交. 若函数列j0, j1, j2, 中任两函数正交, 则称之为正交函数系. 三角函数系1, cos x, sin x, cos nx, sin nx, 是
8、-p, p或0, 2p上的正交函数系; 1, cos, sin, cos 2, sin 2, 是-l, l或0, 2l是的正交函数系.完全性定理 三角函数系是完全的, 即若-p, p上的连续函数f与三角函数系的每个函数正交, 则f = 0.证 由条件知F系数an = bn = 0. 由Parseval等式(见上述注), =0, 故f = 0.廿七. n维欧氏空间 (=定义了内积的n维线性空间) 设A, B是集, A与B的积 (集)AB (a, b)|aA, bB, 其中(a, b)是序偶. a, bc, d = . Rn = RR = x| x = (x1, , xn ), xk R, k =
9、 1, 2, , n . 对x = (x1, , xn ), y = (y1, , yn )Rn, 定义x = yxk = yk (k = 1, 2, , n), x + y , cx , 这样, Rn是线性空间, 它有基ek . 内积 (x, y) . 这样的Rn称为n维欧氏空间. 点. 模 | x | . x与y的距离 d (x, y) | x - y |.内积有以下性质: 1) 正定 (x, x)0, 非退化(x, x) = 0 x =0; 2) 对称; 3) 双线性.距离有以下性质: 1) d (x, y)0, d (x, y) = 0x = y; 2) 对称; 3) 三角不等式.Ca
10、uchy-Schwarz不等式 | (x, y)| x | | y |, 等式 x, y线性相关.证 若x, y线性相关, 即$l0使x = ly (或y = lx), 则| (x, y)| = | l | | y | 2 = | x | | y |.若x, y线性无关, 即lR, ly - x 0, 则0 (ly - x, ly - x) = l 2 | y | 2 - 2l (x, y) + | x | 2, 故判别式|(x, y)| - | x | | y | 0为半径的(n维)开球 = a的d 球邻域B (a, d )x| |x - a | d , 闭球(a, d ), 球面S (a,
11、 d ) . n =2时分别为开圆, 闭圆, 圆周.n维闭区间a1, b1an, bn, n维开区间, n维方区间(方体). n=2时分别为开矩形, 闭矩形, 正方形. 特别地, a = (a1, , an)时x| x = (x1, , xn), | xk - ak |d, k = 1, , n称为a的方邻域. 由于方邻域和球邻域互相包含, 故可统称为a的d 邻域. 去心邻域. 注意方去心邻域是x | | xk -ak |d, k = 1, , n, xa , 不是x | 0 | xk - ak |d , k = 1, , n, 因为前者表明$k 使xk ak , 而后者则表明k xk ak
12、. 例如n =2时, 前者的图示为开矩形去掉中心, 后者为矩形去掉两条线段. 记号U (a, d ), U (a, d ), Ua.E Rn的内点, 外点, (边)界点, 内部 (int E, E), 外部(ext E ), 边界(E, bd E ), 闭包(=EE = EE ). Rn =EEextE . 聚点, 导集(E ), 孤立点.孤立点界点聚点或孤立点, 内点聚点内点或界点.例 E = (0, 1)R; E = 0, 1 R; E = (0, 1)2 R; E = (x, y)R2 | xy = 0; E = (x, y)R2 | 1 x2 + y2 4.E Rn 开E = EE的每个点是内点xE $邻域Ux E.E Rn 闭Rn E开(xnE, xn xxE )E =E E EE.证 xExRn E $B (x, d ) Rn E B (x, d)
