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1、第五讲 中值定理的证明技巧一、考试要求1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 理），并会应用这些性质。2、理解并会用罗尔定理、 拉格朗日中值定理、泰勒定理， 了解并会用柯西中值 定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。3、了解定积分中值定理。二、内容提要1、介值定理（根的存在性定理）（ 1）介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值 m 之间的任何值.（2）零点定理设f（x）在a、b连续，且f（a）f（b） v 0 ,则至少存在一点,c （a、b）,使得 f（c）=02、罗尔定理若函数 f （x） 满足：（1） f （x） 在 a,b 上连续（2）
2、 f（x）在（a，b）内可导（ 3 ） f （a） f （b）则一定存在（a，b）使得f（）03、拉格朗日中值定理若函数 f（x） 满足：（1） f （x） 在 a,b 上连续（2） f（x）在（a，b）内可导则一定存在 （a,b），使得 f（b） f（a）f（）（b a）4、柯西中值定理若函数f(x), g(x)满足：(1 )在a,b上连续(2) 在(a，b)内可导(3) g(x)0f(b) f(a) f() 则至少有一点 (a，b)使得g(b) g(a) g()5、泰勒公式如果函数f (x)在含有Xo的某个开区间 (a,b) 内具有直到n 1阶导数，则当x在(a,b)内时，f(x)可以表示
3、为x人的一个n次多项式与一个余项 R(x)之和，即Rn(x)其中f(n 1)()(x 紂1(n 1)!(介于怡与x之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1 展开的基点；2 展开的阶数；3 余项的形式.其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式.而基点和阶数，要根据具体的问题来确定.6、积分中值定理若f(x)在a、b上连续，则至少存在一点c a、b，使得f(x)dx=f(c)(b-a)三、典型题型与例题题型一、与连续函数相关的问题(证明存在使f ( )0或方程f(x)=0有根)思路：1)直接法2) 间接法或辅助函数法例 1、
4、设 f(x)在a,b上连续，a 为X2Xn b, & 0(i 1,2, ,n)，证明存在 a,b，使得f()Cj(Xi) CzfgCnf(XG C2Cn例2、设b a 0, f(x)在a,b上连续、单调递增，且f (x)0，证明存在 (a,b)使得 a2f (b) b2 f (a)2 2 f ()*例3、设f (x)在a,b上连续且f (x)0,证明存在 (a,b)使得f (x)dxbf(x)dx1 bRfgdX。(a,b)使得X证明：2x 0f(t)dt 1在(0,1)内有且鱼(1)n1 0，证明方程32n 10，在(0, )内至少有一实根。例4、设f (x), g(x)在a,b上连续，证明
5、存在bg( ) f(x)dx f( ) g(x)dxa例5、设f(x)在0,1上连续，且f(x)0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点a, b使得bba f(x)g(x)dx f( )ag(x)dx题型二、验证满足某中值定理例8、验证函数f(x)求满足定理的题型三、证明存在，1 ，在0, 2上满足拉格朗日中值定理，并10(n=1,2,)方法：1、用费马定理2、用罗尔定理(或多次用罗尔定理)3、用泰勒公式思路：可考虑函数f(n 1)(x)例9、设f(x)在a,b上可导且f(a)f (b)0，证明至少存在一个(a,b)使得 f ( )0例 10、设 f (x)在0,3上连续，在(0,3)内可
6、导，且 f(0)f(1) f (2)3, f(3)1，证明存在一个(0,3)使得f ( ) 0*例11、设f(x)在0,2上连续，在(0， 2)内具有二阶导数且f (x)1lim10,2 1 f(x)dx f (2)，证明存在 (0,2)使得 f ( ) 0x 1cos x1题型四、证明存在，使G( ,f ( ), f ( ) 0方法：1)用罗尔定理(原函数法，常微分方程法)，2) 直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理(要求 a,b分离)思路：1) 换为x2 )恒等变形，便于积分3) 积分或解微分方程4) 分离常数：F(x, f(x) CF (x, f (x)即为辅助函数(1)用罗尔定理1)
7、原函数法：步骤：将x换为x;恒等变形，便于积分；求原函数，取c=0 ;移项，得F(x).例 12、设 f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 g (x)0(x(a,b)，求f(a) f( ) f ()证存在 (a, b)使得g( ) g(b) g ()例13、( 0134 )设f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，且1f(1) k xe1 xf (x)dx, k 1证明：在(0,1)内至少存在一点x,使f ( )(11)f().a b例 14、设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)f(b)0,f(a) f(刁)0, g(x) 在a,b上连续，试证对(
8、a,b),使得f ( ) g( )f ().1 1*例 15、设f(x)在0 ,1上连续，在(0,1)内一阶可导，且 f(x)dx 0, xf(x)dx 0. 试证：(0,1),使得 f()(11)f().2) 常微分方程法：适用：,f ( )( ,f()步骤： x,f (x)(x, f (x)解方程 G(x, f (x) c令 F(x) G(x,f(x)例16、设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f (a) f (b) ，证明存在证明：对任意实数，必存在(0，1),使得 f ( ) f (f(1)=1,*例17、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,(2
9、)直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求证存在bf(b) af(a)b af ( ) f()(a,b)，使得例19、f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导，求证存在(a,b)，使得 nnb ab a f(a) f (b)n 1nf ( ) f ( ), n例20、f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导(0 ab)，求证存在(a,b)，K使得 f (b) f (a) ln - f ()a例21、设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导(0 ab)，求证存在(a,b)，使得 f(b) f(a)(a2 ab b2)-ba3 2题型5、含有f
10、 ()(或更高阶导数)的介值问题方法：1 )原函数法(对f (x)仍用微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日，柯西中值定理)；2)泰勒公式例22、设f(x)在0,1上二阶可导，且f(0)=f(1),试证至少存在一个(0,1),使f ()1例23、( 012，8分)设f (x)在a,a(a 0)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。(2) 证明在a, a上至少存在一个 使得3aa f ( )3 f(x)dxa例24、设f(x)在1,1上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f0证0)=0,明：在(-1,1)内存在一点x，使得f ( )3.例
11、25、( 103)设函数f (x)在闭区间0, 3上连续，在开区间(0, 3)内二阶可导，且22 f(0)= 0 f(x)dx= f (2)+ f (3).(I) 证明存在 h ?(0, 2),使得 f(h)= f (0);(II) 证明存在 x ?(0, 3),使得 f 2(x)=0 .题型6、双介值问题F( , , ) 0方法：1)同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理2)用一次后再用一次中值定理例26、设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，0 a b，求证存在，(a,b)使得 f ( ) f(a b)例27、( 051，12分)已知函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 0, f(1) 1证明：(1)存在 (0,1)，使得f( )1(2)存在两个不同的点，(0,1)使得f ( ) f ( ) 1题型7、综合题* 例 29、( 011，7 分)设函数f(x)在(-1,1 )内具有二阶连续导数，且f (x) 0,试证(1)对于(-1,1)内的任意x 0,存在唯一的(x)(0,1)使得f(x) f(0) xf ( (x)x)成立1(2)0o(X)2例29、试证明若f(x)在a,b上存在二阶导数，且f (a) f (b)0 ,贝U存在4(b a)2f(b)f(a)*例30、设eab,求证：在(a,b)内存在唯一的点E,使得In aInb 01
