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1、比值法与非常规解题广州杜厚生2000年5月课堂教学是素质教育的主渠道,素质教育的关键是优化课堂教学过程,引导学生积极主动地参与学习过程,学会学习、乐于学习，真正成为学习的主体。在数学课堂教学中，解题教学是最主要、最大量的教学内容。思维活动在解题过程中充分体现，并得到充分发展。学生应该在解题教学中，学会思维、学会创造。本世纪最伟大的数学教育思想家波利亚说：“我们并不要求每一个教师和学生都能从事高深的研究工作，不过，数学问题非常规解题也是真正的创造性工作。我们需要掌握的不是单靠记忆得到的知识，而是在解决有趣问题中掌握的、随时可用的真正知识。”这就是说，在解题教学中，可以用非常规解题来激发学生的创造
2、性，提高学生学习的积极性与主动性。在初中平面几何的解题教学中，善用比值法，就能实现一些几何问题的非常规解题，有效地提高学生的解题能力。一. 含30、45角的直角三角形非常规解题1 学完“解直角三角形”后，解这样的一道题：RtABC中，C=90，B=30，若BC=50，求斜边AB的长。 A C30 B 50大部分学生会设AB=x，则AC=，于是，列出方程：。解得AB=。不用勾股定理试试看。学生想了一下，“如果设AB为x，则COS30=这个方法比用勾股定理好，因为不必解一元二次方程了。”再问学生：“你能不能一下子看出AB=来？”“不能，因为数太大了，换个小一点的数，比如BC=3，我想可以用心算求出
3、AB=2来”。在这里，勾股定理和三角函数都是课本要求的常规解法。而运用比值法则可以得到非常简捷的非常规解法。于是我和学生一起来寻找比例。这其实很容易，从小到大，三边的比值是1：2，若已知短直边是a时，有 a：a：2a。于是，只要知道短直边a，其余二边应该是a和2a；知道斜边是a呢？其余二边是和。为了能熟练掌握这种方法，只需做十分钟练习：知短求长时，乘以倍数（和2）；知长求短时，除以倍数（和2）。同类的问题，要“一下子看出来”，象呼吸一样轻松自然。于是我们把这叫做“呼出”结果，召之即来，张口就有。(如下图) 2 1 2a a a 1000500 aa 500 50当然，等腰直角三角形也一样，乘以
4、倍数或除以倍数，更简单！(下图) 1 a a a 1 2 1 a 这种“呼出”有多大用处呢？我们且来试试：例1.如图，已知DC=3，求各线段的长。解: A A 6 6 3 30 60 30 60B C 3 DB6 C 3 D BBBB 3 63 3 63 全部呼出!例2.如图，已知BD=50，求线段AC的长解: 设AC=x，则DC=x，BC=x，BC=XABDC503045xx于是50+x=x，x=50(1)=25(+1)这比用三角函数来求显然要好些。 A2 115B 2 D C例3.如图，已知BC=3+，求线段AB、AC的长ABD=XBD3045Cx解:设AD=DC=x，则BD=x，得x+x
5、 =3+x=AB=2x=2，AC=x =例4.如图，RtABC中，C=90，B=15求:tg15的值解:作AD，使ADC=30，设AC=1，则AD=BD=2，DC=BC=2+ tg15=2-还能推广吗?其他的特殊直角三角形看来也可以。例如勾股数三角形也有比值，3:4:5; 5:12:13; 7:24:25，等等。任意直角三角形呢？不是也有比值吗？试一试看： A A 1 sinB(cosA) a asinB(acosA) B C B CcosB(sinA)acosB(asinA)设斜边为1，有：斜边为a，有： AA1 aB ctgB（tgA） C BactgB（atgA）C设直边为1，有：直边为
6、a，有：例5. 利用上面的图形，由勾股定理，可证明sin2A+cos2A=1 (平方关系) 由正切定义，可证明tgA= (比值关系) 由A+B=90，得sinA=cosB，tgA=ctgB(互余关系)例6.如图，RtABC中，D=90，B=，ACD=，BC=m，求AD。（这是例6的推广）Ax B m C xctgD xctg解:设AD=x，则CD=xctg，BD=xctgm+xctg=xctgx=即AD=在中学数学教材中，含30、45角的题目如此之多，“呼出”令我们又快又准又轻松。二.弧长与扇形面积的非常规解题 老师问学生：“弧长公式是什么？”,“就是。” “怎么得到的？” “因为360的圆心
7、角所对的弧就是圆周长，所以1的圆心角所对的弧长就是。于是n的圆心角所对的弧长是。”老师问学生：“扇形面积公式是什么？”“有两个。S扇 =和S扇 =LR，后一个公式在已知弧长和半径时使用。”有了这两组公式，学生在知道圆心角和半径时，求弧长和扇形面积没有困难。“不过，很枯燥，一点趣味也没有。”学生说。“而且，恐怕很快就会忘了。”于是老师又问：“你能不能用别的方法导出这个结果？”学生说:“这怎么可能？曲线形的计算，除了圆周长和圆面积公式，我们没有任何其他方法。能这样导出公式，我觉得已经很巧妙了。”老师说：“如果知道了一个圆的周长为16，扇形所对的弧长为2，你能一下子说出扇形的圆心角度数和扇形的面积吗
8、?能呼出吗?”这有点难，于是，老师和学生一起“回到定义去。”好了，定义其实是用比值来得到公式的。又是比值！这就是说，在一个扇形中，圆心角n是部份，周角是全体；弧长是部份，周长是全体；扇形面积是部份，圆面积是全体。如果设=k，那么，在求n、l、s这些“部份” 时，有部份=k全体。这个k容易呼出，而这个“全体”也是非常熟悉的。于是，上面的题目果然是可以呼出的：弧长是2，圆周长是16，那么k=，圆心角是=45(度)，扇形面积要先求圆面积，周长是16，半径为8，所以圆面积是64，扇形面积是64=8。只要再熟练一些，就更容易呼出了。老师又和学生一起做了10分钟练习：角度n比值kn：360半径r弧长lk2
9、r扇形面积skr230R36R45R60R72R90R120R135R144R150R “现在有趣一些了。而且，我们不必依赖公式，只要一想起部份和全体的关系，什么时候都会计算。”学生说。老师说：“其实，公式也在这些比值之中。” 学生说：“这容易看出：也就是s=lr。实际计算时，用n=k360，l=k2r，s=kr2，显然又快又准。”老师说：“你能不能把这结果应用于其他问题？”学生再一次看着扇形：“这里还有一条弦AB，它应当是圆内接正多边形的一部分。还有弓形，它是圆减去正多边形剩下的面积的一部分。还有 ABC的面积，它是圆内接正多边形面积的一部分，它们的比值也都等于k。”“如果作同心圆，能得到一个圆环，那么阴影部分的面积与圆环的面积之比也是k。”阴影面积弦长、弓形面积也是圆环的三角形面积都是一部分。全体的一部分。书上有一道习题(几何第三册187页11题)，我们尝试用这个结果计算。例7.已知两个同心圆被两个半径截得的=10cm，=6cm，又AC=12cm，求阴影部分的面积。 A 12 C O D B
