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1、数学建模论文 姓名：王琳琳 班级：软件101 辅导老师： 学号： 数学建模之淋雨量问题摘要当大雨来临时，人们总是习惯于拔腿就跑。摆脱困境的本能迫使我们加快速度，与此同时，日常经验又让我们很多人对跑得越快淋雨就越少这一点深信不疑。事实是否正如大多数人所想的呢？本文就“淋雨量与跑步速度关系”的问题建立了数学模型，从实际情况出发对不同条件下速度和淋雨量关系做出分析探究。关键词 动态模型 速度选择 淋雨量 跑速1. 问题的重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量就越少。 将人体简化成一个长方体，搞a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=
2、0.2m。设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s,雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h,记得跑步速度为v，按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为x，如图一，建立总淋雨量与速度v以及参数a、b、c、d、u、w、x之间关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算x=0，x=30时的总淋雨量（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为y,如图2，建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、c、d、u、w、y之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计
3、算y=30时的总淋雨量。 (4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）进行作图，并解释结果的实际意义。（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。2.问题的分析在我们的日常生活中，下雨天气是不可避免的，当我们遇到此类的天气且身上没有携带避雨的雨具时，是否快跑就会减少身上的淋雨量呢？就此问题我们做一个模型假设查探我们的问题。总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。每个面上的淋雨量等于单位面积，单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最
4、优解。当雨线方向和跑步方向不在同一平面时，我们设出雨线方向角，按照上述方法将其分解，同样可以解决问题。3.模型的假设与符号说明3.1模型的假设将人体简化成一个长方体，高a=1.5m,宽b=0.5m.厚c=0.2m；设跑步的距离为1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h（1）雨速为常数且方向不变； （2）人体为一个长，宽，高都确定的长方体； （3）人体跑步速度不受其他因素影响； （4）降雨量在一定时期内为定值。3.2符号说明a 人体身高b 人体宽度c 人体厚度d 跑步距离 跑步最大速度u 雨速 降雨量v 跑步速度 同一平面内，雨从迎面吹来，雨线与人体夹角
5、同一平面内，雨从背面吹来，雨线与人体夹角t 全过程所花费的时间s 面积Q 淋雨量 不同平面内，雨线与跑步方向的夹角 雨线在人体正面所在平面内的分量与铅垂线的夹角4.模型的建立与求解4.1模型建立：模型一:（1）题中所述不考虑雨的方向，假设降雨淋遍全身，此时的雨速也是均匀下落，由假设人体为长方体可知，该人体的表面积s=2ab+2ac+bc，因为跑步距离d=1000m，所以该人在雨中的淋雨时间t=d/vm，在该时间内的降雨量w=2cm/h=(0.0001/18)m/s所以，总淋雨量Q=s*t*w模型二：（2）1当雨迎面吹来时该人只有头顶和迎面淋雨，设头顶部淋雨量为Q1，由图一可知淋雨面积s1=bc
6、,淋雨的时间t1=d/v，淋雨量（降雨方向与雨速方向应在一条线上）为w*cosx,由此可知淋雨总量Q1=s1*t1*w*cosx2由图一可知，雨速在水平方向上的水平分量为u*sinx（方向与v相反），设定参照物后水平方向上的合成速度为u*sinx+v,淋雨面积s2=a*b,淋雨的时间t2=d/v,淋雨量为w*sinx+w*v/u(即本身的淋雨量加上人相对雨速的淋雨量)，迎面淋雨量Q2=s2*t2*w*(usinx+v)/u由此可以得到该人在单位时间和单位面积内的总淋雨量Q=Q1+Q2=(0.01cosx)/(18*v)+0.075*(4sinx+v)/(18*v)模型三：(3)当雨从背面吹来，
7、雨线方向与跑步方向一致时，设定参照物后人参考速度|u*siny-v|，当u*siny-v0时，即雨速在水平上的分量大于人的速度，此时在水平方向上的合成速度是v-u*siny，此时的人的淋雨总量可分为两部分：头顶部分Q3和背面部分Q4,；1头顶部淋雨量为Q3，由图二可知淋雨面积s1=bc,淋雨的时间t3=d/v，淋雨量（降雨方向与雨速方向应在一条线上）为w*cosx,由此可知该人在单位时间和单位面积内的淋雨总量Q3= s1*t1*w*cosx2由图二可知，雨速在水平方向上的水平分量为u*sinx（方向与v相反），设定参照物后人的参考速度为v-u*siny,淋雨面积s2=a*b,淋雨的时间t2=d
8、/v,降雨量w=w*（v/u）-wsiny，所以该人在单位时间和面积内的总的淋雨量Q4= s2*t2*w*(v-u*siny)/u=abdw(v-u*siny)/uv=0.0010461(1-siny/v)所以降雨总量Q=Q3+Q4=（0.01cosy）/(18*v)+0.0010461(1-siny/v)模型三：当u*siny-v0时，即雨速在水平上的分量大于人的速度，此时的人的淋雨总量可分为两部分：头顶部分Q5和背面部分Q6。3头顶部淋雨量为Q5，由图二可知淋雨面积s1=bc,淋雨的时间t3=d/v，淋雨量（降雨方向与雨速方向应在一条线上）为w*cosx,由此可知淋雨总量Q5= s1*t1
9、*w*cosx4由图二可知，雨速在水平方向上的水平分量为u*siny-v（方向与v相反），此时在水平方向上的合成速度为u*siny-v,淋雨面积s2=a*b,淋雨的时间t2=d/v,，降雨量w=wsinx-w*v/u,此时该人的淋雨总量Q6= s2*t2*w*(usinx+v)/u所以降雨总量Q=Q5+Q6=0.0027778*（0.2cosy-1.5siny）/v+1.54:根据三中所求的降雨总量然后对式子分别求导可以可画出图如下： 4.2模型求解：由于该模型是在理想情况下假设的，由以上模型（1）(2)(3)可求出下列数值：（1）带入数据可求出以下未知量：表面积s=2ab+2ac+bc=2*
10、1.5*0.5+2*1.5*0.2+0.5*0.2=2.2跑步的时间t=d/vm=1000/5=200s,总的淋雨量Q=s*t*w=2.44L结果分析：由这些数值可知：随着人跑步的速度逐渐变快，人的淋雨量越少，跟我们在实际生活中相差不大，只是这是在理想模型下建立的求解，因为在实际的生活中人的跑步速度不肯能是匀速的，而且人的速度也不可能是一直增加的。（2）带入数据可求出以下未知量：头顶淋雨量：Q3=s1*t1*w*cosx =(0.01cosx)/(18*v)迎面淋雨量：Q4= s2*t2*w*(usinx+v)/u =0.0010461(1-siny/v)总的淋雨量Q=Q3+Q4=0.01co
11、sy/(18*v)+0.0010461(1-siny/v)=0.00069445(0.2cosy-1.5siny)/v+1.5 由题可知该人在雨中的最大速度是v=vm，所以当v=vm时，Q最小，此时带入数据可知Q=0.694*(0.8cosx+6sinx)/v+1.5，x=0，速度v=vm=5m/s,Q=1.152Lx=30, 速度v=vm=5m/s,Q=1.554L5.模型的评价本文的缺点是限制因素太多，变量过少。考虑问题也不太全面，致使结果可能与实际情况不太符合。但总体来讲，本文的思路和解题方法是正确的，可以为进一步的研究奠定基础。若是雨线方向与跑步方向不在同一平面内，建立坐标系然后分别对几个淋雨面进行以上同样方法建立求解模型，在本质和考虑问题的思想上来说模型是不变的，只是解算的过程复杂了！6.参考文献1 周衍柏 理论力学教程M 北京:高等教育出版社,1992 2 李志业 理论力学M 成都:电子科技大学出版社,19953 杨启帆 边馥萍 数学模型 浙江大学出版社19904 陈兰荪 数学生态学模型与研究方法 科学出版社1991第1页
