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1、小学数学牛吃草问题 柳依涛吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变2、草场原有草的量不变 。草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。因此孩子要弄清楚三个量的关系：第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少）第二：求出原有草量第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水
2、机二、解题基本思路1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）天数”，求出只数三、解题基本公式解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为：1、草的生长速度对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数（吃的较多天数吃的较少天数）2、原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数3、吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）4、牛头数原有草量吃的天数草的生长
3、速度四、下面举个例子例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有：（1）27头牛6天所吃的牧草为：276162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。）（2）23头牛9天所吃的牧草为：239207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）（3）1天新长的草为：（207162）（96）15 （4）牧场上原有的草为：27615672 （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72（2115）72612（天）
4、所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽公式解法：（1）草的生长速度=（207162）（96）15（2）牧场上原有草=（2715）672 再把题目中的21头牛分成两部分，一部分15头牛去吃新长的草（因为新长的草每天长15份，刚好可供15头牛吃，剩下（21-15=6）头牛吃原有草：72（2115）72612（天）所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃完。方程解答：设草的生长速度为每天x份，利用牧场上的原有草是不变的列方程，则有276-6x =239-9x解出x=15份再设21头牛，需要x天吃完，同样是根据原有草不变的量来列方程：276-615 =239-915=（21-15）x解出x=12（
5、天）所以养21头牛。12天可以吃完所有的草。 牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率. 下面给出几例牛吃草及其相关问题 1. 草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”) 【分析与解】 27头牛吃6周相当于276=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草； 23头牛吃9周相当于239=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草所以453=
6、15头牛1周可以吃1周新长出的草即相当于给出15头牛专门吃新长出的草于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草； 所以需要1266=12(周)，于是2l头牛需吃12周评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了 一般方法： 先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数时间甲-乙牛头数时间乙)(时间甲-时间乙)； 再进行如下运算：(甲牛头数-变化草相当头数)时问甲(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙 或者：(甲牛头数-变化草相当头数)时间甲时间丙+变化草相当头数丙所需的头数 2有三块草地
7、，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷草地上的草一样厚而且长得一样快第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周问：第三块草地可供50头牛吃几周? 【分析与解】 我们知道246=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草).3612=432头牛吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草)于是1442=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草4324=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草所以108-72=36头牛一周吃2公顷126=6周长的草即366=d头牛1周吃2公顷1周长的草 对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好于是4公顷，配426=12头牛专吃新长的草，即24-1
8、2=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃61(42)=36周吃完2公顷 所以10公顷，需要1026=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36 (102)20=9周 于是50头牛需要9周吃10公顷的草3如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长牧民带着一群牛先在号草地上吃草，两天之后把号草地的草吃光(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在号草地吃草，一半牛在号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外号的牛放在号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完那么如果一开始就
9、让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？【分析与解】 一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的.即群牛，1天，吃了1块1天新长的. 又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在号草地吃草，它们同时吃完.所以，=2阴影部分面积.于是，整个为块地.那么需要群牛吃新长的草，于是=现在.所以需要吃：天.所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天. 4现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛
10、、羊一起吃，需多少时间? 【分析与解】 我们注意到：牛、马45天吃了 原有+45天新长的草 牛、马90天吃了 2原有+90天新长的草 马、羊60天吃了 原有+60天新长的草 牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草 马 90天吃了 原有+90天新长的草 所以，由、知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草 所以，知马60天吃完原有的草，知牛90天吃完原有的草 现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草. 所需时间为l=36天. 所以，牛、羊、马一起吃，需36天 5. 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得
11、一样快它们的面积分别是公顷、10公顷和24公顷已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草? 【分析与解】 由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形 所以表1中，3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么18星期吃完1公顷原有的草需要2.7(184)=0.6头牛，加上专门吃新长草的O9头牛，共需0.6+0.9=1.5头牛，18星期才能吃完1公顷牧场的草 所以需1.524=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又不断匀速生长，27头牛6天可以把牧
12、场上的草全部吃完；23头牛吃完牧场全部的草则要9天，若21头牛来吃，几天吃完？最佳答案 这种问题叫:牛顿问题 完整解题思路: 假设每头牛每天的吃草量为1,则27头6天的吃草量为276=162；23头牛9天的吃草量为239=207。207与162的差就是（9-6）天新长出的草，所以牧场每天新长出的草量是（207-162）（9-6）=15 因为27头牛6天吃草量为162，这6天新长出的草之和为156=90，从而可知牧场原有的划量为162-90=72 牧场每天新长的草够15头牛吃一天，每天都让21头牛中的15头牛吃新长出的草，其余的21-15=6（头）专吃原来的草。所以牧场上的草够吃726=12（天
13、），也就是这个牧场上的草够21头牛吃12天。综合算式：276-（239-276）（9-6）621-（239-276）（9-6）=12（天）牛吃草问题是小学奥数的一类难题,记得在某本书上看到过：“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。”对于前半句很好理解，给孩子讲的时候，也是按追及问题的思路来讲的。而对于后半句，直到上周才算明白。 这个问题是在仁华学校课本六年级下册第六讲最大与最小问题中出现的。现暂且把这个题放下，看看以前我是如何讲牛吃草问题的。 例1 小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供12头牛吃15天。如果小军家养了24头牛，可以吃几天
14、？ 草速：（10201215）（2015）=4 老草（路程差）： 根据：路程差=速度差追及时间 （104）20=120 或 （124）15=120 追及时间=路程差速度差： 120（244）=6（天） 例2 一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？ 草速：（509587）（97）=22 老草（路程差）： (5022）9=252 或 (5822）7=252 求几头牛就是求牛速,牛速=路程差追及时间草速 252622=64(头) 现在回头看看仁华学校课本那道题吧! 例3 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水
