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1、2007年上海市高中数学竞赛试卷（2007年3月25日 星期日 上午8：3010：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1方程的实数解 _2有一条长度为1的线段，其端点在边长为3的正方形的四边上滑动，当绕着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹的长是_3复数数列满足，则它的前2007项的和为_4已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面 和的距离分别为和6，分别是半平面，内的动点，则周长的最小值为_5已知平面直角坐标系中点与点的对应法则 .若一段曲线在对应法则 下对应椭圆的一段弧，则这段曲线的方程是_6已知，计算：
2、_7已知数列满足，则数列的通项公式_8已知圆，过轴上的点存在的割线，使得，则点的横坐标的取值范围是_ 二、解答题9（本题满分14分）对任意正整数，用表示满足不定方程的正整数对的个数，例如，满足的正整数对有三个，则求出使得的所有正整数 10（本题满分14分）已知关于的方程有3个正实根，求的最小值11（本题满分16分）已知抛物线，是过焦点的弦，如果BAFxyO与轴所成的角为，求12（本题满分16分）求满足如下条件的最小正整数，在圆的圆周上任取个点，则在个角中，至少有2007个不超过2007年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1、 2、3、 4
3、、5、 6、 7、 8、二、解答题9（本题满分14分）对任意正整数，用表示满足不定方程的正整数对的个数，例如，满足的正整数对有三个，则求出使得的所有正整数 解 由知令，则等于正整数对的个数，从而等于的正约数的个数.（3分）设，其中为不同质数，且则正约数个数为（6分）令，则或，或或满足条件的或或或（14分）（每个答案2分，共8分）10（本题满分14分）已知关于的方程有3个正实根，求的最大值解 原方程为.因为原方程有三个正实根，所以关于的二次方程有两个正实根.（3分）故（6分） （10分）当时，等号成立.（14分）11（本题满分16分）已知抛物线，是过焦点的弦，如果与轴所成的角为，求解 以F为极点
4、，轴正半轴为极轴建立极坐标系，FOABxMN则抛物线方程为（这里为级角）.作AM轴，其中M、N为垂足.于是（8分）又.（12分）于是.（16分）【另解】当时，AB的方程可写为PBAFxyOQ，即.这个结果对也成立.（4分）将它代入抛物线方程，得 （8分）过A、B分别作轴的垂线AP、BQ.连AO、BO，则（12分）（16分）12（本题满分16分）求满足如下条件的最小正整数，在圆的圆周上任取个点，则在个角中，至少有2007个不超过解 首先，当时，如图，设AB是O的直径，在ABO点A和B的附近分别取45个点.此时只有个角不超过120,所以不满足题意.（4分）当时，下面证明至少有2007个角不超过.对圆周上的91个点，若则连.这样就得到一个圆.设圆中条边，当时，圆中没有三角形.若=0，则有个角不超过，命题得证.（8分）若1，不妨设A1、A2之间有边相连，因为圆中没有三角形，所以对于点，它至多于A1、A2中的一个有边相连，所以，其中表示从A处引出的边数.,而对圆中每一条边的两个顶点，都有.于是上式对每一条边求和可得（12分）由柯西不等式，所以所以 91个顶点中，至少有个点对，它们之间没有边相连，从而对应的顶点所对应的角不超过120. 综上所述，的最小值为91.（16分）
