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1、整数性质及应用整数的性质和应用 / 1.1 不是质数，也不是合数；2 是独一的偶质数。2. 若质数p|ab,则必有p|a或 p|b 。3.若正整数a, b的积是质数p,则必有a=p 或b=p。4. 定理 1. 设 a 是一个大于 1 的正整数，则 a 的大于 1 的最小正因数 p 必定是质数。 5. 定理 2. 若 p 是质数，则对任一整数a,或许 p|a,或许（ p, a ）=16. 定理 3. 质数有无量多个。 7. 形如 4n-1(n 为正整数 ) 的质数有无量多个。 8.算术基本定理：随意一个大于1 的整数 N 能分解成 K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的次序，则这类分解是独一的
2、，能够写成标准分解形式:1. 已知三个不一样的质数a ,b,c知足 babc，a,2000,求 a+b+c 的值。nn2. 若 n 是大于 2 的正整数，求证：与中至多有一个是质数。2,12 ，13. 用正方形的地砖不重叠、无空隙地铺满一块地，采用边长为xcm规格的地砖，恰用 n 块；若采用边长为 ycm规格的地砖，则要比前一种刚很多用124 块，已知 x、y、n 都是正整数，且（ x, y ）=1. 试问这块地有多少平方米？22224. 设 a,b,c,d都是自然数，且 a，b,c ， d，证明必定是合数。a ， b， c， d5. 若 n 为自然数， n+3 与 n+7 都是质数，求 n
3、除以 3 所得的余数。226. 设自然数 n,n,79n,nnn ，且有，试求与的值。1212127.n 是不小于 40 的偶数，试证明： n 总能够表示成两个奇合数的和。a8. 若 a,b,c是 1998 的三个不一样的质因数，且(b ，c) ，则的值是多少？a,b,c14549. 四个质数的倒数之和是，则这四个质数之和是多少？199510. 有四个数，一个是最小的奇质数，一个是偶质数，一个是小于30 的最大质数，另一个是45p， 3p，3 还是质数，求的值。大于 70 的最小质数，求它们的和。11.p 是质数， p12. 已知质数 p 和 q 知足，求的值。3p ， 5q,313q ， 1
4、1. 有三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是质数，也不是合数，求三个数的积。2. 有三个数，一个是偶质数，一个是大于 50 的最小质数，一个是 100 之内最大的质数，求这三个数的和。3. 设 m与 n 是两个大于 2 的质数，证明 m+n是一个合数。4. 若 p 是一个质数， 23p，3p，3 仍为质数，求证：也是一个质数。5. 设 P5，证明：若 P 和 2P+1均为质数，则 4P+1为合数。6. 若 P 与 P+3都是质数，求 P 除以 3 所得的余数。（ P3）227. 若自然数 n,n,2n,2n,19n,nn,n ，且，求的值。 121212128. 有
5、四个不一样质因数的最小自然数是多少？9. 求 200 的正约数个数，并求它的全部质因数的和。545410. 若 n,4 ，545，则 n 是质数还是合数？11. 若质数 m, n 知足 5m+7n=129, 求 m+n的值。12. 一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对换后还是一个质数，我们称它为“无暇质数”，则全部“无暇质数”之和是多少？13. 机器人对自然数从 1 开始由小到大按以下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，求第 1992 个数是多少？14. 证明有无量多个 n，使多项式 2n，n，41（ 1
6、）表示合数 （ 2）为 43 的倍数。qp15. 已知正整数 p ,q都是质数，且 7p+q 与 pq+11 也都是质数，试求p， q 的值。16. 1 与 0 交替摆列，构成下边形式的一串数：101， 10101，1010101，101010101，, 请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论。17.41 名运动员所穿运动衣号码是1，2，, ，40，41 这41 个自然数，问：（ 1）可否使这 41 名运动员站成一排，使得随意两个相邻运动员的号码之和是质数？ （2）可否使这 41 名运动员站成一圈，使得随意两个相邻运动员的号码之和是质数？ 若能办到，请举一例；若不可以办到，请说明原因。
