《二项式定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项式定理（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二项式定理1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题【梳理自测】一、二项式定理及特点1(教材改编)若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A9B8C7 D62(12x)5的展开式中，x2的系数等于()A80 B40C20 D103(教材改编)二项式5的展开式中的常数项为()A10 B10C14 D14答案：1.B2.B3.A以上题目主要考查了以下内容：(1)二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式其中的系数C(r0,1，n)叫二项式系数式
2、中的Canrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Canrbr.(2)二项展开式形式上的特点项数为n1.各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式的系数从C，C，一直到C，C.二、二项式系数的性质1若n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为()A. B.C D.2若n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为()A5 B5C405 D405答案：1.B2.C以上题目主要考查了以下内容：(1)对称性：与首末两端“等
3、距离”的两个二项式系数相等即(r0,1，n)(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn，Cn取得最大值(3)各二项式系数和：CCCCC2n；CCCCCC2n1.【指点迷津】1一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr1Canrbr，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负2
4、一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续3两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用：证明与二项式系数有关的等式；证明不等式；证明整除问题；做近似计算等对应学生用书P172考向一二项展开式中的特定项或系数(1)(2013高考安徽卷)若8的展开式中，x4的系数为7，则实数a_.(2)(2013高考江西卷)5展开式中的常数项为()A80B80C40 D40【审题视点】根据二项展开式的通项公式，令x的次数为4，则为x4的项，含x的次数为0，则为常数项【典例
5、精讲】(1)含x4的项为Cx53Ca3x4，Ca37，a.(2)设展开式的第r1项为Tr1C(x2)5rrCx102r(2)rx3rC(2)rx105r.若第r1项为常数项，则105r0，得r2，即常数项T3C(2)240.【答案】(1)(2)C【类题通法】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可1(2014浙江省温州市调研)()6的展开式中的常数项是_解析：二项式()6的展开式的通项公式为Tr1C()6r()r()rCx3，当r2时，Tr1是常数项，此时T3.答案：考
6、向二二项展开式的系数和问题在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和【审题视点】分清二项式系数与项的系数，奇数项与偶数项，正确赋值【典例精讲】设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和即为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29，
7、偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项的系数和为；，得2(a1a3a9)1510，偶数项的系数和为.【类题通法】(1)对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.2(2
8、014福建厦门模拟)设(1x)na0a1xanxn，若a1a2an63，则展开式中系数最大的项是()A15x2B20x3C21x3 D35x3解析：选B.令x1，则(11)nCCC64，n6.故(1x)6的展开式中最大项为T4Cx320x3.考向三二项式定理的综合应用(1)求证：122225n1(nN*) 能被31整除；(2)求SCCC除以9的余数；(3)根据下列要求的精确度，求1.025的近似值(精确到0.01)【审题视点】(1)(2)利用二项展开式寻求倍数关系(3)根据展开式适当取舍【典例精讲】(1)证明：122225n125n132n1(311)n1C31nC31n2C31C131(C3
9、1n1C31n2C)，显然C31n1C31n2C为整数，原式能被31整除(2)SCCC2271891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)2.C98C97C是正整数，S被9除的余数为7.(3)1.025(10.02)51C0.02C0.022C0.025150.021.10.【类题通法】(1)利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧(3)利用二项式定理证明不等式：由于(ab)n的展开式共有n1项，
10、故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的3(2012高考湖北卷)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0B1C11 D12解析：选D.512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除，且512 012a能被13整除C(1)2 012a1a也能被13整除，a可取值12.对应学生用书P173 多次应用二项展开式通项公式搭配不全(2012高考安徽卷)(x22)5的展开式的常数项是()A3B2C2 D3【正解】利用二项展开式的通项求解二
11、项式5展开式的通项为：Tr1C5r(1)rCx2r10(1)r.当2r102，即r4时，有x2Cx2(1)4C(1)45；当2r100，即r5时，有2Cx0(1)52.展开式中的常数项为523，故选D.【答案】D【易错点】(x22)与5的各因式的积为常数项，不只是2与(1)的积，还有x2与x2的积也为常数【警示】求几个二项式积的展式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果1(2013高考重庆卷)使n(nN)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5C6 D7解析：选B.根据二项展开式的通
12、项公式求解Tr1C(3x)nrrC3nrxnr，当Tr1是常数项时，nr0，当r2，n5时成立2(2013高考全国新课标卷)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()A5 B6C7 D8解析：选B.先根据二项展开式中二项式系数的特点确定系数的最大值，再利用组合数公式求解(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为C，aC.同理，bC.13a7b，13C7C.137.m6.3(2013高考四川卷)二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)解析：利用二项展开式的通项求解(xy)5展开式的通项是Tr1Cx5ryr，令r3得T4Cx2y310x2y3，二项式(xy)5展开式中含x2y3项的系数是10.答案：104(2013高考浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A，则A_.解析：写出二项展开式的通项Tr1，令通项中x的指数为零，求出r，即可求出A.Tr1C()5rrC(1)rx，令0，得r3，所以AC10.答案：10第3讲二项式定理最新考纲1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式
