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1、第7章 平面向量一、教学目标：1. 理解平面向量的概念、共线向量；2. 理解平面向量的线性运算；3. 理解并能运用坐标表示平面向量；能运用坐标对平面向量进行加法、减法、数乘等运算；理解共线向量的坐标表示；4. 理解平面向量的内积；会求两个平面向量的内积、夹角；理解两个向量垂直的充要条件；二、 教学重点1. 平面向量的概念、共线向量；2.平面向量的线性运算；3.平面向量的坐标表示；4.平面向量的内积；三、教学难点1.平面向量的线性运算；2.平面向量的内积；3.平面向量共线的充要条件；四、考点剖析1.平面向量的概念及表示（1）平面向量是既有大小又有方向的量，数量只有大小。常见平面向量有速度、位移、
2、力等。如果两个向量大小和方向都相同，则两个向量相等。向量的大小叫做向量的模，a、。的模记作|a|、|。（2）平面向量可以在平面内任意平移。（3）向量用有向线段来表示。可以用一个小写英文字母表示，也可以用两个大写英文字母来表示,如a，。（4）模为零的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向不确定。模为1的向量叫做单位向量。与非零向量a相等，方向相反的向量叫做向量a的负向量。例1给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等；向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上其中
3、不正确的个数为_。例2 如图所示，ABC中，DEBC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设a，b，用a，b分别表示向量，。 作业：一、填空题：1在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 2如图，是正方形的对角线的交点，四边形、是正方形，在图中所示的向量中，（1）与相等的向量有 ；（2）与共线的向量有 ；（3）与模相等的向量有 ；（4）向量与是否相等？答： 3是正六边形的中心，且，在以、为端点的向量中：（1）与相等的向量有 ；（2）与
4、相等的向量有 ；（3）与相等的向量有 4下列说法中正确是 （写序号）（1）若与是平行向量，则与方向相同或相反；（2）若与共线，则点、共线；（3）四边形为平行四边形，则=；（4）若，则；（5）四边形中，且，则四边形为正方形；（6）与方向相同且与是一致的；二、解答题：1如图，以13方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？2在如图所示的向量、中（小正方形边长为1）是否存在共线向量？相等向量？模相等的向量？若存在，请一一举出3某人从点出发向西走了200m达到点，然后改变方向向西偏北走了450m到达点，最后又改变方向向东走了200m到达点（1）作出向量、
5、（1cm表示200m）；（2）求的模2. 向量的线性运算（1） 向量的加法三角形法则（首尾相接）、平行四边形法则（起点重合）。其中三角形法则适用于所有向量的加法，而平行四边形法则要求两个向量不共线。（2） 向量的减法减去一个向量等于加上这个向量的负向量。（3） 向量的数乘运算a=b，当0时，a与b同向，当0时，a与b反向。向量数乘运算的运算律：1a=a；-1a=-a；（）a=（a）=（a）；（+）a=a+a；（a+b）=a+a例1对下图中各组向量a与b，求作a+b，2a-b aaa b b b例2计算（1）3（-a+b）+（5a-3b）（2） a-1/2(a+b)-1/2(c+a-b)作业：1
6、.如图所示向量a、b、c，求作向量l，使得l=3a-b+2c并将向量c用向量a、b线性表示。 b a c2如图，在任意四边形中，、分别为、的中点，求证：CABFED3点、分别是三边、上的中点，求证：（1）；（2） 4 如图所示，在ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，a，b.5 (1)用a，b表示向量、；(2)求证：B、E、F三点共线3. 向量的坐标表示（1） 点，则=。（2） 线性运算的坐标表示a=，b=，则a+b=； a-b=；a=；例1已知=(5，3)，C(1，3)， =2，则点D坐标 A(11，9) B(4，0) C(9，3) D(9，-3)例2平行四边形ABCD的三个顶点为A（-2
7、，1）、B（-1，3）、C（3，4），则点D的坐标是A（2，1） B（2，2） C （1，2） D（2，3）作业：一、填空题1.已知：、，那么 ； 2.已知点和向量，若，则点的坐标是 3.已知向量=(3，-2)，=(-2，1)，=(7，-4)，且=+， 则= ，= 4.已知=(2，4)， =(1，3)，=(3，2) 则|3+2|=_ 5.设点A(-1，2)、B(2，3)、C(3，-1)，且=2-3，则点D的坐标为 6.已知=(5，-3)，C(-1，3)，=2，则点D坐标是 7.已知，线段AB中点为C，则的坐标为 二、解答题1.已知向量=（1，），=（，1），=+2，=2-且=2，求、的值2.已
8、知平行四边形的顶点、，求顶点的坐标3.已知A、B、C三点坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)， =，=（1）求点、及向量的坐标；（2）求证：4.平面向量的内积（1）向量a与b的夹角记作，并且0，=；（2）ab=|a|b|Cos，两个向量的内积是数量；（3）几个重要结果：Cos=ab/|a|b|；当=0时，ab=|a|b|，当=时，ab=-|a|b|；当a=b时，=0，所以aa=|a|a|=|a|2，所以|a|=；（3） 运算律ab=ba；（a）b=（ab）=a（b）；(a+b)c=ac+bc；（5）向量内积的坐标表示a=，b=，则ab=（）；|a|=；Cos=；例1已知, 求向量与向量
9、的夹角. 已知,夹角为,则 .例2. 已知向量满足,且的夹角为,求.作业：一、填空1.已知向量a和b满足|a|=1，|b|=，a（ab）则a与b的夹角为 。2.设a、b为两个非零向量，且ab=0，那么下列四个等式|a|=|b|；|ab|=|ab|；a（ba）=0；（ab）2=a2b2其中正确等式个数为 。3.若是夹角为的单位向量，且,，则 4. 设,则 5. 在中,则的值为 6. 已知下列命题中：（1）若，且，则或，（2）若，则或（3）若不平行的两个非零向量，满足，则（4）若与平行，则 其中真命题的个数是 7.已知，则向量与向量的夹角是 8.平面向量中，若，=1，且，则向量=_ 二、解答题1、
10、已知向量的夹角为，,求向量的模 2.已知向量a=（，），b=（，1）那么（ab）（ab）的值是？3.若，且，求向量与的夹角。4.若,，与的夹角为，若，求的值5.已知：，（）.() 求关于的表达式，并求的最小正周期；() 若时，的最小值为5，求的值.5. 平面向量共线与垂直的充要条件（1） aba=b；（2） 对于非零向量a、b，设a=，b=，ab；（3） ab|ab|=|a|b|；（4）当=/2时，ab，则ab=|a|b|/2=0，因此对于非零向量a、b，abab=0； ab=0；例1下列说法正确的是（ ）A、向量是共线向量，则点A，B，C，D必共线。B、两个相等向量的起点和终点均须一致；C、
11、共线向量只须起点一致，终点可以不一致；D、两个平行向量就是共线向量。例2 已知; (2) ;(3) 的夹角为,分别求.例3已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？例4已知向量a=（1，2），b=（x，1），e1=a+2b，e2=2a-b且e1e2，求x。例5若三点共线，则有 （ ）A B C D 作业：一、填空1.已知平面向量，且，则 2.若是非零向量且满足， ，则与的夹角是 3若向量=（2，x）与=（x, 8）共线且方向相反，则x= .4已知，若平行，则= .5已知向量，向量，则的最大值是 6若向量则 二、解答题1i、j是两个不共线的向量,已知=3i+2j，=i+j, =-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数的值.2.已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？
