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1、线性回归方程的教学设计教学目标 （1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； （2）在两个变量具有线性相关关系时，会在散点较长中作出线性直线，会用线性回 归方程进行预测； （3）知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义 教学重点 散点图的画法，回归直线方程的求解方法 教学难点 回归直线方程的求解方法 教学过程 一、问题情境 1情境： 客观事物是相互联系的 过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系 比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相
2、联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说 事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度 所以说，函数关系存在着一种确定性关系 但还存在着另一种非确定性关系相关关系 2问题： 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 气温/ C 26 18 13 10 4 杯数 20 24 34 38 50 64 如果某天的气温是 ，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？ 二、学生活动 为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标 表示气温，纵坐标 表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构
3、成的 个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系. 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取 这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同； （3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； 怎样的直线最好呢? 三、建构数学 1最小平方法： 用方程为 的直线拟合散点图中的点，应使得该直线
4、与散点图中的点最接近。那么，怎样衡量直线 与图中六个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量 的六个值带入直线方程,得到相应的六个 的值: .这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和 是直线 与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线 与图中六个点的接近程度,所以,设法取 的值,使 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) . 先把 看作常数,那么 是关于 的二次函数.易知,当 时, 取得最小值.同理, 把 看作常数,那么 是关于 的二次函数.当 时, 取得最小值.因此,当 时， 取的最小值，由此解得 .
5、所求直线方程为 .当 时, ,故当气温为 时,热茶销量约为 杯. 2线性相关关系： 像能用直线方程 近似表示的相关关系叫做线性相关关系. 3线性回归方程： 一般地,设有 个观察数据如下： 当 使 取得最小值时,就称 为拟合这 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. 上述式子展开后，是一个关于 的二次多项式，应用配方法，可求出使 为最小值时的 的值即 ,（*） , 四、数学运用 例1 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 温度/ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数 156
6、 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 （1）画出散点图； （2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； （3）求回归方程； （4）如果某天的气温是2 ，预测这天卖出的热饮杯数. 结论：（1）散点图如下图所示： （2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少. （3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程 =-2.352x+147.767. (4)当x=2时， =143.063.因此，某天的气温为2
7、 时，这天大约可以卖出143杯热饮. 思考：气温为2 时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？ 例2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料. 机动车辆数x千台 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故数y千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 (1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由； (2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程. 结论：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图. 直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系 (2)计算相应的数据之和： =1 031， =71.6, =137 835， =9 611.7. 将它们代入公式计算得b0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1. 五、课堂小结： 1对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数 的计算公式，算出 由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误求线性回归方程的步骤：计算平均数 ；计算 的积，求 ；计算 ；将结果代入公式求 ；用 求 ；写出回归方程
