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1、第三章应变状态分析内容介绍知识点位移与变形变形与应变分量正应变切应变纯变形位移与刚性转动位移几何方程与应变张量应变分量坐标转轴公式位移增量的分解主应变齐次方程组应变张量体积应变应变状态特征方程变形协调方程变形协调的物理意义变形协调方程证明变形协调方程的数学意义多连域的变形协调由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生 变化，即产生位移。这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位 置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。第二种位移是弹性体形状的变化， 位移发生时不仅改变物体
2、的绝对位置， 而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形状变化引起的位移，称为变 形。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。当然，对于弹性力学，主要是研 究变形，因为变形和弹性体的应力有着直接的关系。根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。那么弹性体中某点 在变形过程中由M （x, y, z）移动至M （x, y, z）,这一过程也将是连续的,V如图所示。在数学上，x，y，z必为x，y，z的单值连续函数。设MM=S为位移矢量，其三个分量u，v，w为位移分量。 则u=x（x， y， z） -x=u（x， y， z）v=y（x， y， z） -y=v（x， y， z）w=z（ x
3、， y， z） -z=w（ x， y， z）显然，位移分量u，v，w也是x，y，z的单值连续函数。以后的分析将 进一步假定位移函数具有三阶连续导数。为进一步研究弹性体的变形情况，假设从弹性体中分割出一个微分六面体单元， 其六个面分别与三个坐标轴垂直。对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。一是微分单元体棱边的伸长 和缩短；二是棱边之间夹角的变化。弹性力学分别使用正应变和切应变表示这两 种变形的。对于微分平行六面体单元，设其变形前与x，y，z坐标轴平行的棱边分别为 MA，MB，MC，变形后分别变为MA，MB，MC。假设分别用.廿z表示x，y，z轴方向棱边的相对伸长度，即正应变;分别用Yxy,
4、Yyz，表示x和y，y和z，z和x轴之间的夹角变化，即切应变。则MA平面对于小变形问题，为了简化分析，将微分单元体分别投影到 Oxy，Oyz，OzxAC来讨论。显然，单元体变形前各棱边是与坐标面平行的，变形后棱边将有相应的转动， 但我们讨论的是小变形问题，这种转动所带来的影响较小。特别是物体位移中不 影响变形的计算，假设各点的位移仅为自身的大小和形状的变化所确定，则这种 微分线段的转动的误差是十分微小的，不会导致微分单元体的变形有明显的变化。Si首先讨论Oxy面上投影的变形。设ma, mb分别为MA, MB的投影，ma, mB分别为MA, MB,即变形 后的MA, MB的投影。微分单元体的棱边
5、长为dx, dy, dz, M点的坐标为(x, y, z), u (x, y, z), v(x, y, z)分别表示M点x, y方向的位移分量。则 A 点的位移为 u(x+dX, y, z), v (x+dX, y , z), B 点的位移为 u(x, y+dy , z)， v(x, y+dy, z)。按泰勒级数将A , B两点的位移展开，并且略去二阶以上 的小量，则A , B点的位移分别为如du .3v du +枚,v +dx利+曲, v +dySx办労砂MrArmrar= Ac +u +dx -= dx: -I-dx3x3工所以dx十將Zdx9l69x因为由此可以得到弹性体内任意一点微分线
6、段的相对伸长度，即正应变。显然微分线段伸长，则正应变x，轧，8z大于零，反之则小于零。xyz以下讨论切应变表达关系。假设卩yx为与x轴平行的微分线段ma向y轴转过的角度，卩与为与y轴平行 的 mb 向 x 轴转过的角度。则切应变因为冰出dx + -dxSxSvI十加 3x上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数是高阶小量的结论。同理可 得卩和卩可为正或为负，其正负号的几何意义为：卩大于零，表示位 yx xyyx移v随坐标x而增加，即x方向的微分线段正向向y轴旋转。将上述两式代入切 应变表达式，则同理可得切应变分量大于零，表示微分线段的夹角缩小，反之则增大。应变可以描述一点的变形，即对微分平行
7、六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹 角的改变做出定义。但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅 仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元体的 刚体转动。通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯 变形位移之间的关系。设P点无限邻近O点，P点及其附近区域绕O作刚性转动，转过微小角度。设转动矢量为co, OP之间的距离矢量为，如图所示引入拉普拉斯算符矢量综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为dv 二、 9x ?8z ?dv 加du dw抵 dy JJ =上述公式称为几何方程，又称柯西方程。柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如
8、果已知位移，由位移函 数的偏导数即可求得应变；但是如果已知应变，由于六个应变分量对应三个位移 分量，则其求解将相对复杂。 这个问题以后作专门讨论。几何方程给出的应变通常称为工程应变。如果使用张量符号，则几何方程可以表达为%二+血打+气；J上式表明应变分量将满足二阶张量的坐标变换关系，应变张量分量与工ij程应变分量的关系可表示为设P点的位移矢量为有U = u i + u j + u k由于位移矢量可以表示为U =Xp ,所以一一一一933VxAf = Vx(wxp)二(V p)w -(wV)/i = 3 - (q潭一 + 0 一 + 込 一)(xf + ” + 比) 敗 丿卽 dz=3w - (
9、qJ + cas) - 2w其中，为转动分量，是坐标的函数，表示了弹性体内微分单元体 xyz的刚性转动。设M点的坐标为（x，y，z），位移（u, v，w）。与M点邻近的N点，坐标为 （x+dx， y+dy， z+dz）, 位移为（u+du， v+dv， w+dw）。则MN两点的相对位移为（du，dv，dw）。因为位移为坐标的函数，所以d 3随、也 1 du ,du =dx + dy + dz3xdz诲11 .dvdu.11du.11 .dv曲z、d1 .dudw. 1=dx +(+)dy + (+ )dzf-)dy -(-)dz办 2 ex(fy 2dx dz 2 exqy2 dz二屯舐+爲+
10、 +鶴血-叫+巴血同理可得以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像刚体一样转动的刚性转动位移。刚性转动位移的物理意义为， 如果弹性体中某点及邻近区域没有变形，则 与某点无限邻近这一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两部分组成。分别是随这点的平动位移和绕这点的转动位移。对于弹性体中某一点，一般还要发生变 形，因此位移中还包括纯变形位移。根据公式即 du 等于纯变形位移与刚性转动位移在 x 方向的分量之和。根据上述公式，可得或者写作同理可得上述公式是关于l m, n的齐次线性方程组。如果以nij (i, j=1, 2, 3)表示新|日坐标系之间的夹角的方
11、向余弦，并注意到应 变张量表达式，则上述应变分量变换公式可以写作ij=niinjjij因此,如果将应变分量写作下列形式则应变分量满足张量变换关系。与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量。由公式可知，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定，即一点的应变状态就完全确定了。不难理解，坐标变换后各应变 分量均发生改变，但它们作为一个整体，所描述的一点的应变状态是不会改变的。若用V表示变形后的微分单元体体积，则将行列式展开并忽略二阶以上的高阶小量，则V- (1 + + + 碍)心奶血=(1 +4气)若用e表示单位体积的变化即体积应变，则由上式可得显然体积应变e就是应变张量
12、的第一不变量Ji。因此e常写作体积应变e大于零表示微分单元体膨胀，小于零则表示单元体受压缩。若弹 性体内e处处为零，则物体变形后的体积是不变的。对于 l，m，n 的齐次线性方程组，其非零解的条件为其系数行列式的值为零。即将上式展开，可得主应变特征方程，其中显然与应力不变量相同，J, J2, J3为应变不变量，分别称为第一，第二和 第三应变不变量。根据特征方程，可以求解得到三个主应变。将求解后的主应变代入公式，并 注意到任意一点三个方向余弦的平方和等于 1，则可解应变主轴的方向余弦。由应力张量和应变张量，应力不变量和应变不变量之间的公式的比较可知，主应变和应变主轴的特性与主应力和应力主轴是类似的
13、。Sw.dxdv Qu首先从几何方程中消去位移分量，把几何方程的第一式和第二式Sz ?duJ 二 H + 也宓分别对x和y求二阶偏导并利用第四式，可得数，然后相加，若将几何方程的第四，五，六式分别对z，x, y求一阶偏导数，然后四和六两式相加并减去第五式，则-叽十生十如二2空Sy fe 卽将上式对 x 求一阶偏导数，则分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式，沪百鬼2 涉2 3x3y 空+二尘 d2y dz2 dydzdxOy c& 呼力 砥力dz33z3 （叽+叽叽、dz 3裹dydz9x3y上述方程称为应变协调方程或者变形协调方程，又称圣维南(SaintVenant)方程。几何方程表明，六
14、个应变分量是通过三个位移分量表示的，因此六个应变分量将 不可能是互不相关的，应变分量之间必然存在某种联系。这个问题对于弹性力学分析是非常重要的。因为如果已知位移分量，容易通 过几何方程的求导过程获得应变分量；但是反之，如果已知应变分量，则几何方 程的六个方程将仅面对三个未知的位移函数，方程数显然超过未知函数的个数， 方程组将可能是矛盾的。随意给出六个应变分量，不一定能求出对应的位移。例如：例i设应变分量为严宀宀,了十，求 其位移解：显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件以下我们将着手建立这一条件。所谓的单连通域，是指该物体内任一条闭曲线可以收缩到一点而不越出界外。设应变分量&.单值连续，并有连续的二阶导数，则由ij血二兽血詈+兽血二怙（机-叫）如+（扫+碍）血ox dy dz轮换x, y, z计算，可得dv， dw和d ， d。yz
